Σελίδα 1 από 1

Ένα σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
από Tolaso J Kos
Να επιλυθεί το σύστημα

\displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}

Re: Ένα σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 10, 2018 10:00 pm
από glinos
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα

\displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}
Είναι \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ x-y=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ (x-y)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 -2xy+y^2+xy=12\\ x^2-2xy+y^2=16 \end{matrix}\right.

Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε xy=-4 ενώ x-y=4 οπότε με αντικατάσταση προκύπτει η δευτεροβάθμια ως προς x

x^2-4x+4=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2 και το μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος λύσεων (x,y)= \left ( 2,-2 \right )

Re: Ένα σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 10, 2018 10:17 pm
από Tolaso J Kos
Πολύ ωραία λύση που αποφεύγει τη βασική ταυτότητα \alpha^3 + \beta^3 = \left( \alpha + \beta \right) \left( \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \right). Σύμφωνα με αυτή έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
x-y &=  &4  
\end{matrix}\right. &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
\left ( x+y \right )\left ( x^2-xy+y^2 \right ) &=  &12(x+y) \\  
 x-y& = & 4 
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x^3+y^3 & = &12(x+y) \\  
x-y & = & 4 
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x^3+y^3 & = & 12 (x+y)\\  
 x& = & 4+y  
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
\left ( 4+y \right )^3 + y^3 & = &12 \left ( 4+2y \right ) \\  
x &=  &4+y  
\end{matrix}\right.  
\end{aligned}}
Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ( 4+y \right )^3 + y^3  = 12 \left ( 4+2y \right ) &\Leftrightarrow \left ( 4+y \right )^3 + y^3  - 12 \left ( 4+2y \right ) =0  \\  
 &\Leftrightarrow 2y^3 +12y^2 +24y + 16 =0 \\  
 & \Leftrightarrow 2 \left ( y+2 \right )^3 =0\\  
 &\Leftrightarrow y =-2 
\end{aligned}}
και άρα x=2.

Re: Ένα σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 10, 2018 11:32 pm
από S.E.Louridas
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα \displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}
Μόνο και μόνο για να αρχίσουν οι μικροί συνάδελφοι να μυούνται στις όμορφες μαθηματικές «ιδιαιτερότητες».
Θα μπορούσαμε λοιπόν να "παίξουμε", αν στην πρώτη εξίσωση εξήγαμε κοινό παράγοντα το x, και πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη επί 4, γράφοντας το σύστημα ως \left\{ {4x + {y^2} = 12,\;4x - 4y = 16} \right\}. Αν τώρα αφαιρέσουμε κατά μέλη θα έχουμε: {y^2} + 4y =  - 4 ή {y^2} + 4y + 4=0, από όπου προκύπτει {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y =  - 2, οπότε από τη δεύτερη έχουμε x = 2. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές x = 2 και y =  - 2 επαληθεύουν το σύστημα.

Re: Ένα σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2018 5:42 am
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Μια ακόμα λύση:
Το σύστημα γράφεται:

\displaystyle{(x-y)^2 +2xy-xy=12}
\displaystyle{x-y=4}

Άρα:
\displaystyle{16+xy=12}
\displaystyle{x-y=4}

Άρα:
\displaystyle{x(-y)=4}
\displaystyle{x+(-y)=4}

Άρα τα \displaystyle{x , - y} είναι οι ρίζες της εξίσωσης: \displaystyle{m^2 -4m+4=0} από όπου έχουμε την διπλή ρίζα \displaystyle{m=2}. Άρα \displaystyle{x=2, -y =2}

και τελικά \displaystyle{x=2 , y= - 2}