Ένα σύστημα

Tolaso J Kos · #1

Να επιλυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\left ( \Sigma \right ): \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2 & = &12 \\ x-y&= &4 \end{matrix}\right.}$

glinos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\left ( \Sigma \right ): \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2 & = &12 \\ x-y&= &4 \end{matrix}\right.}$

Είναι $\left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ x-y=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ (x-y)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 -2xy+y^2+xy=12\\ x^2-2xy+y^2=16 \end{matrix}\right.$

Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε xy=-4

ενώ

οπότε με αντικατάσταση προκύπτει η δευτεροβάθμια ως προς

$x^2-4x+4=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2$ και το μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος λύσεων $(x,y)= \left ( 2,-2 \right )$

Tolaso J Kos · #3

Πολύ ωραία λύση που αποφεύγει τη βασική ταυτότητα $\alpha^3 + \beta^3 = \left( \alpha + \beta \right) \left( \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \right)$ . Σύμφωνα με αυτή έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2 & = &12 \\ x-y &= &4 \end{matrix}\right. &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+y \right )\left ( x^2-xy+y^2 \right ) &= &12(x+y) \\ x-y& = & 4 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+y^3 & = &12(x+y) \\ x-y & = & 4 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+y^3 & = & 12 (x+y)\\ x& = & 4+y \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4+y \right )^3 + y^3 & = &12 \left ( 4+2y \right ) \\ x &= &4+y \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( 4+y \right )^3 + y^3 = 12 \left ( 4+2y \right ) &\Leftrightarrow \left ( 4+y \right )^3 + y^3 - 12 \left ( 4+2y \right ) =0 \\ &\Leftrightarrow 2y^3 +12y^2 +24y + 16 =0 \\ & \Leftrightarrow 2 \left ( y+2 \right )^3 =0\\ &\Leftrightarrow y =-2 \end{aligned}}$
και άρα x=2

.

S.E.Louridas · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left ( \Sigma \right ): \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2 & = &12 \\ x-y&= &4 \end{matrix}\right.}$

Μόνο και μόνο για να αρχίσουν οι μικροί συνάδελφοι να μυούνται στις όμορφες μαθηματικές «ιδιαιτερότητες».
Θα μπορούσαμε λοιπόν να "παίξουμε", αν στην πρώτη εξίσωση εξήγαμε κοινό παράγοντα το

και πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη επί

γράφοντας το σύστημα ως $\left\{ {4x + {y^2} = 12,\;4x - 4y = 16} \right\}.$ Αν τώρα αφαιρέσουμε κατά μέλη θα έχουμε: ${y^2} + 4y = - 4$ ή ${y^2} + 4y + 4=0,$ από όπου προκύπτει ${\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - 2$ , οπότε από τη δεύτερη έχουμε x = 2.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές x = 2

και

επαληθεύουν το σύστημα.

#5

Μια ακόμα λύση:
Το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{(x-y)^2 +2xy-xy=12}$
$\displaystyle{x-y=4}$

Άρα:
$\displaystyle{16+xy=12}$
$\displaystyle{x-y=4}$

Άρα:
$\displaystyle{x(-y)=4}$
$\displaystyle{x+(-y)=4}$

Άρα τα $\displaystyle{x , - y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{m^2 -4m+4=0}$ από όπου έχουμε την διπλή ρίζα $\displaystyle{m=2}$ . Άρα $\displaystyle{x=2, -y =2}$

και τελικά $\displaystyle{x=2 , y= - 2}$

Ένα σύστημα

Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Μέλη σε σύνδεση