Ένα σύστημα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ένα σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm

Να επιλυθεί το σύστημα

\displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Re: Ένα σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Τρί Απρ 10, 2018 10:00 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα

\displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}
Είναι \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ x-y=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ (x-y)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 -2xy+y^2+xy=12\\ x^2-2xy+y^2=16 \end{matrix}\right.

Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε xy=-4 ενώ x-y=4 οπότε με αντικατάσταση προκύπτει η δευτεροβάθμια ως προς x

x^2-4x+4=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2 και το μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος λύσεων (x,y)= \left ( 2,-2 \right )


Λίνος Γιαννάκης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ένα σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 10, 2018 10:17 pm

Πολύ ωραία λύση που αποφεύγει τη βασική ταυτότητα \alpha^3 + \beta^3 = \left( \alpha + \beta \right) \left( \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \right). Σύμφωνα με αυτή έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
x-y &=  &4  
\end{matrix}\right. &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
\left ( x+y \right )\left ( x^2-xy+y^2 \right ) &=  &12(x+y) \\  
 x-y& = & 4 
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x^3+y^3 & = &12(x+y) \\  
x-y & = & 4 
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x^3+y^3 & = & 12 (x+y)\\  
 x& = & 4+y  
\end{matrix}\right. \\  
 &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
\left ( 4+y \right )^3 + y^3 & = &12 \left ( 4+2y \right ) \\  
x &=  &4+y  
\end{matrix}\right.  
\end{aligned}}
Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ( 4+y \right )^3 + y^3  = 12 \left ( 4+2y \right ) &\Leftrightarrow \left ( 4+y \right )^3 + y^3  - 12 \left ( 4+2y \right ) =0  \\  
 &\Leftrightarrow 2y^3 +12y^2 +24y + 16 =0 \\  
 & \Leftrightarrow 2 \left ( y+2 \right )^3 =0\\  
 &\Leftrightarrow y =-2 
\end{aligned}}
και άρα x=2.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5240
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ένα σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Απρ 10, 2018 11:32 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 10, 2018 9:47 pm
Να επιλυθεί το σύστημα \displaystyle{\left ( \Sigma  \right ): \left\{\begin{matrix} 
x^2-xy+y^2 & = &12 \\  
 x-y&=  &4  
\end{matrix}\right.}
Μόνο και μόνο για να αρχίσουν οι μικροί συνάδελφοι να μυούνται στις όμορφες μαθηματικές «ιδιαιτερότητες».
Θα μπορούσαμε λοιπόν να "παίξουμε", αν στην πρώτη εξίσωση εξήγαμε κοινό παράγοντα το x, και πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη επί 4, γράφοντας το σύστημα ως \left\{ {4x + {y^2} = 12,\;4x - 4y = 16} \right\}. Αν τώρα αφαιρέσουμε κατά μέλη θα έχουμε: {y^2} + 4y =  - 4 ή {y^2} + 4y + 4=0, από όπου προκύπτει {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y =  - 2, οπότε από τη δεύτερη έχουμε x = 2. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές x = 2 και y =  - 2 επαληθεύουν το σύστημα.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Ένα σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Απρ 14, 2018 5:42 am

Μια ακόμα λύση:
Το σύστημα γράφεται:

\displaystyle{(x-y)^2 +2xy-xy=12}
\displaystyle{x-y=4}

Άρα:
\displaystyle{16+xy=12}
\displaystyle{x-y=4}

Άρα:
\displaystyle{x(-y)=4}
\displaystyle{x+(-y)=4}

Άρα τα \displaystyle{x , - y} είναι οι ρίζες της εξίσωσης: \displaystyle{m^2 -4m+4=0} από όπου έχουμε την διπλή ρίζα \displaystyle{m=2}. Άρα \displaystyle{x=2, -y =2}

και τελικά \displaystyle{x=2 , y= - 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης