Ζητώ αριθμούς

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3601
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ζητώ αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 28, 2018 6:55 pm

Να βρεθούν δυο ετερόσημοι αριθμοί με άθροισμα 9 και άθροισμα απόλυτων τιμών 25.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
antonisdroutsas1997
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Μαρ 27, 2018 5:44 pm

Re: Ζητώ αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antonisdroutsas1997 » Τετ Μαρ 28, 2018 7:33 pm

Έστω x,y πραγματικοί αριθμοί και έστω x θετικός,άρα y αρνητικός χωρίς βλάβη της γενικότητας.Έχουμε τις παρακάτω σχέσεις.
x+y=9 (1)
\left | x \right |+\left | y \right |=25 (2)
\left ( \left | x \right |+\left | y \right | \right )^{2}=\left ( x+y \right )^{2} -2\cdot x\cdot y+2\cdot \left | x \right |\cdot \left | y \right |
Αντικαθιστώντας προκύπτει η ακόλουθη σχέση :
\left | x \right |\cdot \left | y \right |-x\cdot y=272,αντικαθιστώντας τώρα τα x,y από τις αρχικές εξισώσεις (1)και (2) καταλήγουμε κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις στην εξίσωση 25\cdot \left | x \right |=9\cdot x+272
Υψώνοντας την τελευταία σχέση στο τετράγωνο παίρνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση x^{2}-9\cdot x-136=0
Από τους τύπους του Vieta προκύπτουν οι ρίζες 17 και -8
Άρα σύμφωνα με την υπόθεση μας έχουμε ότι x=17 και y=-8.
Ελπίζω να μην έγινε κάποιο λάθος.
τελευταία επεξεργασία από antonisdroutsas1997 σε Πέμ Μαρ 29, 2018 7:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ζητώ αριθμούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 28, 2018 7:45 pm

antonisdroutsas1997 έγραψε:
Τετ Μαρ 28, 2018 7:33 pm
Έστω x,y πραγματικοί αριθμοί και έστω x θετικός,άρα y αρνητικός χωρίς βλάβη της γενικότητας.Έχουμε τις παρακάτω σχέσεις.
x+y=9 (1)
\left | x \right |+\left | y \right |=25 (2)
\left ( \left | x \right |+\left | y \right | \right )^{2}=\left ( x+y \right )^{2} -2\cdot x\cdot y+2\cdot \left | x \right |\cdot \left | y \right |
Αντικαθιστώντας προκύπτει η ακόλουθη σχέση :
\left | x \right |\cdot \left | y \right |-x\cdot y=272,αντικαθιστώντας τώρα τα x,y από τις αρχικές εξισώσεις (1)και (2) καταλήγουμε κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις στην εξίσωση 25\cdot \left | x \right |=9\cdot x+272
Υψώνοντας την τελευταία σχέση στο τετράγωνο παίρνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση x^{2}-9\cdot x-136=0
Από τους τύπους του Vieta προκύπτουν οι ρίζες 17 και -8
Άρα σύμφωνα με την υπόθεση μας έχουμε ότι x=17 και y=-8
Ελπίζω να μην έγινε κάποιο λάθος.

Πιο απλά.
Έστω x,y πραγματικοί αριθμοί και έστω x θετικός,άρα y αρνητικός χωρίς βλάβη της γενικότητας.Έχουμε τις παρακάτω σχέσεις.

x+y=9 (1)

\left | x \right |+\left | y \right |=25 (2)

Επειδή \left | x \right |=x,\left | y \right |=-y

η (2) γράφεται x-y=25 (3)

Προσθέτοντας τις (1),(3) παίρνουμε x=17

Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε y=-8


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Ζητώ αριθμούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Παρ Απρ 20, 2018 5:06 pm

Έστω x,y οι αριθμοί αυτοί, τότε
(1) x+y=9 και (2) \left | x \right |+\left | y \right |=25
Με τις ισότητες (1),(2) έχουμε
x=9-y, συνεπώς \left | 9-y \right |+\left | y \right |=25
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
[*]
Για y< 0 τότε
9-y-y=25 άρα y=-8, επομένως x=17
Για y>9
y-9+y=25, άρα y=17, επομένως x=-8
Για 0< y< 9 τότε 9-y+y= 25 άρα 9= 25, άτοπο



Άρα οι πιθανοί αριθμοί είναι (x,y)=(17, -8)
(x,y)=(-8, 17)
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Απρ 20, 2018 10:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης