Τριγωνομετρική ισότητα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3601
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρική ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 21, 2018 3:37 pm

Στο κάτω σχήμα είναι
\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw (0, 0) circle(2cm); 
\draw [fill=black] (0, 0) circle(2pt); 
\draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Ο}}; 
\draw (-2,0) node[left]{\text{\gr Α}}; 
\draw (2, 0) node[right]{\text{\gr Β}}; 
\draw (-2, 0) -- (2, 0); 
\draw (-2, 0) -- (0, 0) -- (0.75 , 1.8540); 
\draw (0.75, 1.8540) node[above]{\text{\gr Μ}}; 
\draw (0.75, 1.8540) -- (0.75, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; 
\draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (1.17,0) -- (1.17,0.42) -- (0.75,0.42) -- (0.75,0) -- cycle;  
\draw (-2, 0) -- (0.75, 1.8540) -- (2, 0); 
\end{tikzpicture}}
είναι {\rm OA}=1 ενώ {\rm M} \Gamma \perp {\rm A} \Gamma. Να δειχθεί ότι:
\displaystyle{1+ \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha} όπου \alpha = {\rm O \hat{A} M} και \beta = \Gamma \hat{\rm O} {\rm M}.


Την πέτυχα κάπου . Έχει κάποιο λάθος ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρική ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 21, 2018 4:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 21, 2018 3:37 pm
Στο κάτω σχήμα είναι
\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw (0, 0) circle(2cm); 
\draw [fill=black] (0, 0) circle(2pt); 
\draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Ο}}; 
\draw (-2,0) node[left]{\text{\gr Α}}; 
\draw (2, 0) node[right]{\text{\gr Β}}; 
\draw (-2, 0) -- (2, 0); 
\draw (-2, 0) -- (0, 0) -- (0.75 , 1.8540); 
\draw (0.75, 1.8540) node[above]{\text{\gr Μ}}; 
\draw (0.75, 1.8540) -- (0.75, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; 
\draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (1.17,0) -- (1.17,0.42) -- (0.75,0.42) -- (0.75,0) -- cycle;  
\draw (-2, 0) -- (0.75, 1.8540) -- (2, 0); 
\end{tikzpicture}}
είναι {\rm OA}=1 ενώ {\rm M} \Gamma \perp {\rm A} \Gamma. Να δειχθεί ότι:
\displaystyle{1+ \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha} όπου \alpha = {\rm O \hat{A} M} και \beta = \Gamma \hat{\rm O} {\rm M}.


Την πέτυχα κάπου . Έχει κάποιο λάθος ;

Σίγουρα είναι λάθος. Η αποδεικτέα σχέση δείχνει ότι η \displaystyle \alpha είναι 120^0 (ή μηδέν), πράγμα άτοπον, αφού οξεία.

Μάλλον είναι τυπογραφικό: Το σωστό είναι \displaystyle 1 + \cos \beta  = 2{\cos ^2}\alpha (τύπος διπλάσιας γωνίας) που για το φάκελο βγαίνει κατάλληλα με ύλη Γ Γυμνασίου.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4167
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρική ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 22, 2018 11:27 am

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχήμα του Αποστόλη, δίχως να χρησιμοποιήσουμε την κάθετη MG.

95c99f1a17fdaaa429866c2ec11824af.png
95c99f1a17fdaaa429866c2ec11824af.png (3.49 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABM είναι \displaystyle \sigma \upsilon \nu a = \frac{{AM}}{2} \Leftrightarrow AM = 2\sigma \upsilon \nu a .

Στο MOB είναι  \displaystyle M{B^2} = {1^2} + {1^2} - 2\sigma \upsilon \nu b (Ν. Συνημιτόνων, εντός σχ. βιβλίου, εκτός διδακτέας ύλης Γ΄ Γυμνασίου).

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο MAB είναι

 \displaystyle M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow 4\sigma \upsilon {\nu ^2}a + 2 - 2\sigma \upsilon \nu b = 4 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu b = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}a - 1 .

Είναι b = 2a ως εξωτερική γωνία στο MOA, οπότε έχουμε μια γεωμετρική απόδειξη του τύπου του συνημιτόνου διπλασίου τόξου.

edit: Έκανα μια διόρθωση: (στο ορθογώνιο τρίγωνο ABM, αντί ABC), με υπόδειξη του Αποστόλη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης