Τριγωνομετρική ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Στο κάτω σχήμα είναι
$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0) circle(2cm); \draw [fill=black] (0, 0) circle(2pt); \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Ο}}; \draw (-2,0) node[left]{\text{\gr Α}}; \draw (2, 0) node[right]{\text{\gr Β}}; \draw (-2, 0) -- (2, 0); \draw (-2, 0) -- (0, 0) -- (0.75 , 1.8540); \draw (0.75, 1.8540) node[above]{\text{\gr Μ}}; \draw (0.75, 1.8540) -- (0.75, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; \draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (1.17,0) -- (1.17,0.42) -- (0.75,0.42) -- (0.75,0) -- cycle; \draw (-2, 0) -- (0.75, 1.8540) -- (2, 0); \end{tikzpicture}}$
είναι ${\rm OA}=1$ ενώ ${\rm M} \Gamma \perp {\rm A} \Gamma$ . Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{1+ \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha}$ όπου $\alpha = {\rm O \hat{A} M}$ και $\beta = \Gamma \hat{\rm O} {\rm M}$ .

Την πέτυχα κάπου . Έχει κάποιο λάθος ;

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 3:37 pm
Στο κάτω σχήμα είναι
$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0) circle(2cm); \draw [fill=black] (0, 0) circle(2pt); \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Ο}}; \draw (-2,0) node[left]{\text{\gr Α}}; \draw (2, 0) node[right]{\text{\gr Β}}; \draw (-2, 0) -- (2, 0); \draw (-2, 0) -- (0, 0) -- (0.75 , 1.8540); \draw (0.75, 1.8540) node[above]{\text{\gr Μ}}; \draw (0.75, 1.8540) -- (0.75, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; \draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (1.17,0) -- (1.17,0.42) -- (0.75,0.42) -- (0.75,0) -- cycle; \draw (-2, 0) -- (0.75, 1.8540) -- (2, 0); \end{tikzpicture}}$
είναι ${\rm OA}=1$ ενώ ${\rm M} \Gamma \perp {\rm A} \Gamma$ . Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{1+ \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha}$ όπου $\alpha = {\rm O \hat{A} M}$ και $\beta = \Gamma \hat{\rm O} {\rm M}$ .

Την πέτυχα κάπου . Έχει κάποιο λάθος ;

Σίγουρα είναι λάθος. Η αποδεικτέα σχέση δείχνει ότι η $\displaystyle \alpha$ είναι 120^0

(ή μηδέν), πράγμα άτοπον, αφού οξεία.

Μάλλον είναι τυπογραφικό: Το σωστό είναι $\displaystyle 1 + \cos \beta = 2{\cos ^2}\alpha$ (τύπος διπλάσιας γωνίας) που για το φάκελο βγαίνει κατάλληλα με ύλη Γ Γυμνασίου.

#3

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχήμα του Αποστόλη, δίχως να χρησιμοποιήσουμε την κάθετη

.

: 95c99f1a17fdaaa429866c2ec11824af.png (3.49 KiB) Προβλήθηκε 1199 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABM

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu a = \frac{{AM}}{2} \Leftrightarrow AM = 2\sigma \upsilon \nu a$ .

Στο MOB

είναι $\displaystyle M{B^2} = {1^2} + {1^2} - 2\sigma \upsilon \nu b$ (Ν. Συνημιτόνων, εντός σχ. βιβλίου, εκτός διδακτέας ύλης Γ΄ Γυμνασίου).

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο MAB

είναι

$\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow 4\sigma \upsilon {\nu ^2}a + 2 - 2\sigma \upsilon \nu b = 4 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu b = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}a - 1$ .

Είναι b = 2a

ως εξωτερική γωνία στο MOA

, οπότε έχουμε μια γεωμετρική απόδειξη του τύπου του συνημιτόνου διπλασίου τόξου.

edit: Έκανα μια διόρθωση: (στο ορθογώνιο τρίγωνο ABM

, αντί

), με υπόδειξη του Αποστόλη.

Τριγωνομετρική ισότητα

Τριγωνομετρική ισότητα

Re: Τριγωνομετρική ισότητα

Re: Τριγωνομετρική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση