Παραγοντοποίηση

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Παραγοντοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Μαρ 11, 2018 10:35 am

Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο \rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραγοντοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 11, 2018 5:30 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Κυρ Μαρ 11, 2018 10:35 am
Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο \rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.

Μία λύση στα όρια του ακροβατισμού. Θα υπάρχει φαντάζομαι πιο λογική αντιμετώπιση.

\displaystyle {x^8} + 2702{x^4}{y^4} + {y^8} = {({x^4} + {y^4})^2} + 2500{x^4}{y^4} + 200{x^4}{y^4} =

\displaystyle {({x^4} + {y^4})^2} + {(50{x^2}{y^2})^2} + 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4}) - 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4}) + 200{x^4}{y^4} =

\displaystyle {({x^4} + {y^4} + 50{x^2}{y^2})^2} - 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4} - 2{x^2}{y^2}) =

\displaystyle {({x^4} + {y^4} + 50{x^2}{y^2})^2} - {[10xy({x^2} - {y^2})]^2} =

\displaystyle ({x^4} - 10{x^3}y + 50{x^2}{y^2} + 10x{y^3} + {y^4})({x^4} + 10{x^3}y + 50{x^2}{y^2} - 10x{y^3} + {y^4})


Απορία: Πώς μπορούμε να πείσουμε ένα μαθητή ότι ολοκληρώθηκε (αν ολοκληρώθηκε) η παραγοντοποίηση;


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Παραγοντοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Μαρ 12, 2018 11:48 pm

Γιώργο δεν έχω κάτι καλύτερο κατά νου. Όσο για την απορία που διατυπώνεις, έχεις δίκιο. Μια εναλλακτική διατύπωση που θα μπορούσε να σταθεί είναι:
Να αναλύσετε σε γινόμενο δύο παραγόντων 4ου βαθμού το πολυώνυμο x^8+2702x^4y^4+y^8.

Η ιδέα είναι από ένα παλιό καλό βιβλίο του Μανόλη Μαραγκάκη "Αλγεβρικά Θέματα''.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραγοντοποίηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 13, 2018 9:56 am

Καλημέρα Παύλο!

Στο τρέχον βιβλίο της Γ' Γυμνασίου εφαρμόζεται η διαφορά τετραγώνων και σε αριθμούς που δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Το

παράδειγμα του βιβλίου είναι a^2-7=(a-\sqrt 7)(a+\sqrt 7). Εδώ, θα ήθελα να εκφράσω άλλη μια απορία. Ένας μαθητής γράφει:

\displaystyle {x^8} + 2702{x^4}{y^4} + {y^8} = {({x^4})^2} + 2 \cdot 1351{x^4}{y^4} + {(1351{y^4})^2} - 1825200{y^8} =

\displaystyle {({x^4} + 1351{y^4})^2} - {(780\sqrt 3 {y^4})^2} = \left[ {{x^4} + (1351 - 780\sqrt 3 ){y^4}} \right]\left[ {{x^4} + (1351 + 780\sqrt 3 ){y^4}} \right]


Τι θα λέγαμε σ' αυτό το μαθητή;


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Παραγοντοποίηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Μαρ 13, 2018 12:10 pm

Πολύ καλή η παρατήρηση σου Γιώργο. Έτσι όπως μπήκε η ερώτηση, η απάντηση αυτή δεν μπορεί παρά να είναι δεκτή.

Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη και μπορούμε να φτιάξουμε εύκολα τέτοια παραδείγματα όπως το πολυώνυμο
P(x)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)=x^8-5x^4+4
γράφεται P(x)=(x^4-3x^2+2)(x^4+3x^2+2) αλλά και P(x)=(x^4-1)(x^4-4) όπως και P(x)=(x^4+x^2-2)(x^4-x^2-2).


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης