Δύο λιβάδια, πόσοι θεριστές;

[gbaloglou]

Δεκτή κάθε γυμνασιακή προσέγγιση, η πηγή θα αποκαλυφθεί αργότερα:

Σε μια ομάδα θεριστών ανατέθηκε ο θερισμός δύο λιβαδιών. Η έκταση του ενός ήταν διπλάσια της έκτασης του άλλου. Για μισή μέρα η ομάδα εργάστηκε στο μεγάλο. Κατόπιν χωρίστηκε σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Η πρώτη παρέμεινε στο μεγαλύτερο λιβάδι και ολοκλήρωσε το θερισμό ως το βράδυ. Η άλλη θέρισε το μικρότερο λιβάδι, αλλά όταν βράδιασε της απέμεινε ένα τμήμα για να ολοκληρώσει το θερισμό. Το τμήμα αυτό το αποτελείωσε την επόμενη μέρα ένας εργάτης, εργαζόμενος όλη τη μέρα. Πόσους θεριστές είχε η ομάδα; (Δεχόμαστε, βεβαίως, ότι όλοι οι θεριστές δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό.)

[KARKAR]

Αν οι θεριστές είναι και το μεγάλο λιβάδι , τότε έχουμε :

Οι σε μισή μέρα θερίζουν τα

Ο ένας σε μισή μέρα θερίζει τα

Ο ένας σε ολόκληρη μέρα θερίζει τα

Οι δύο ισοπληθείς ομάδες θέρισαν το υπόλοιπο το μεγάλου άρα και του μικρού

συνεπώς έμεινε αθέριστο το , το οποίο θέρισε ο ένας θεριστής

σε μία μέρα , συνεπώς : , άρα .

[gbaloglou]

Η δική μου λύση (βασισμένη στην εξίσωση (Έκταση χωραφιού) = (Αριθμός εργατών) x (Χρόνος εργασίας)), υπάρχουν και άλλες:

Έστω ο αριθμός εργατών, η συνολική έκταση των δύο χωραφιών, και το τμήμα που απέμεινε για την δεύτερη μέρα. Ισχύουν οι



και ,

άρα και . Επίσης , άρα και (και ).

[gbaloglou]

Παραθέτω μία ακόμη λύση (αναφέροντας την προέλευση της στο τέλος):

"Η ολόκληρη και η μισή ομάδα (δηλαδή τρεις μισές ομάδες) θερίζουν ολόκληρο το μεγάλο χωράφι σε μισή μέρα. Άρα η μισή ομάδα θερίζει σε μισή μέρα το 1/3 του μεγάλου χωραφιού ή τα 2/3 του μικρού χωραφιού, δηλαδή τα 2/9 όλης της έκτασης (η οποία ισούται με τρία μικρά χωράφια). Οπότε ολόκληρη η ομάδα θέρισε σε μια μέρα τα 8/9 όλης της έκτασης.

Το 1/9 όλης της έκτασης, που έμεινε για την επόμενη μέρα, το θερίζει ένας θεριστής σε μια μέρα. Οπότε ο ένας θεριστής ολοκληρώνει μόνος του σε μία μέρα το 1/8 της δουλειάς της ομάδας. Άρα η ομάδα των θεριστών αποτελείται από οκτώ άτομα."

Η αρχή της παραπάνω πρακτικής λύσης είναι σχεδόν ίδια με την αρχή της δικής μου αλγεβρικής λύσης και την εξίσωση , ειδικότερα το αριστερό σκέλος της -- τα πράγματα αλλάζουν στο δεξιό σκέλος, όπου χρησιμοποιώ την συνολική έκταση αντί της έκτασης του μικρού χωραφιού. (Πρόκειται για ατυχή κίνηση μάλλον, που όμως η Άλγεβρα συγκαλύπτει, ενώ η Αριθμητική δεν συγχωρεί ίσως τόσο εύκολα. Σημειώνω εδώ ότι και η λύση του KARKAR δεν χρησιμοποιεί την συνολική έκταση, αλλά την έκταση του μεγάλου χωραφιού.)

Η λύση που παρέθεσα προέρχεται (σελ. 146-147) από την υποενότητα 4.1 ("Ένα πρόβλημα που άρεσε στον Λέοντα Τολστόι") και την ενότητα 4 ("Η άλγεβρα ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων") του κεφαλαίου 2 ("Οι άγνωστοι, οι παράμετροι κι οι εξισώσεις") του πολύ ψαγμένου βιβλίου των Γιάννη Θωμαΐδη και Γιώργου Ρίζου "Οδός Μαθηματικής Σκέψης". Το συγκεκριμένο πρόβλημα, προερχόμενο από τα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" του Yakov Perelman, αποδίδεται σε φοιτητή των τελών του 19ου αιώνα στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας ονομαζόμενο Petrov: σκοπός του ήταν να καταδείξει την ύπαρξη προβλημάτων όπου η Αριθμητική υπερισχύει της Άλγεβρας, προβλημάτων που "έφερναν σε αμηχανία τους καθηγητές που προσπαθούσαν να τα λύσουν με την βοήθεια εξισώσεων και ίσως το κατάφερναν με πολύ κόπο, ενώ επιδέξιοι μαθητές τα έλυναν εύκολα με πρακτική αριθμητική" (σελ. 145).

[Γιώργος Ρίζος]

Ευχαριστώντας τον Γιώργο Μπαλόγλου για την ανάρτησή του και τα καλά του λόγια, θα ήθελα να προσθέσω τα εξής:

Το πρόβλημα αυτό το εντοπίσαμε στο βιβλίο "Διασκεδαστικά Μαθηματικά, μέρος 2, ΑΛΓΕΒΡΑ", του Yakov Perelman, σε μετάφραση Κώστα Γαβρά και επιμέλεια του Μιχάλη Λάμπρου, από τις εκδόσεις Κάτοπτρο.

Θεριστές.jpg (38.45 KiB) Προβλήθηκε 1919 φορές

Το χρησιμοποιήσαμε ως χαρακτηριστικό παράδειγμα προβλήματος όπου η πρακτική λύση υπερτερεί της αλγεβρικής (κατά τη γνώμη μας, βεβαίως). Σε επόμενη ενότητα δίνουμε παραδείγματα στην αντίθετη κατεύθυνση.

Η λύση που προκρίναμε, την οποία ανάρτησε ο Γιώργος παραπάνω, ταιριάζει με τη δική του και του Θανάση. Συνοδεύεται και από το εξής επεξηγηματικό σχήμα.

Θεριστές (2).jpg (19 KiB) Προβλήθηκε 1919 φορές

Αναρτώ το πλήρες κείμενο του Y. Perelman που επεξηγεί για ποιο λόγο μάς κίνησε το ενδιαφέρον αυτό το πρόβλημα:

Μετά την πρώτη έκδοση τον παρόντος βιβλίου, ο καθηγητής A.V. Tsinger μού έστειλε μια λεπτομερή και εξαιρετικά ενδιαφέρουσα εκτίμηση για το υπόβαθρο του προβλήματος. Το κυριότερο στοιχείο του συγκεκριμένου προβλήματος, κατά τη γνώμη του, συνίσταται στο ότι «δεν πρόκειται στο ελάχιστο για αλγεβρικό πρόβλημα, αλλά για αριθμητικό, και μάλιστα πολύ απλό, με μοναδική δυσκολία την ασυνήθιστη μορφή του».
Ο καθηγητής Tsinger συνεχίζει και περιγράφει πώς δημιουργήθηκε το πρόβλημα: «Κατά την περίοδο πού ο πατέρας μου και ο Θείος μου Ι.Ι. Raevsky (επιστήθιος φίλος του Λέοντα Τολστόι) σπούδαζαν στο μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου της Μόσχας, υπήρχε ένα μάθημα Διδακτικής.
Οι φοιτητές επισκέπτονταν κάποιο σχολείο της πόλης το οποίο είχε επιλεγεί από το πανεπιστήμιο, με σκοπό να αποκτήσουν διδακτική εμπειρία υπό την καθοδήγηση των καλύτερων καθηγητών. Υπήρχε δε κάποιος φοιτητής που ονομαζόταν Petrov, φίλος των Tsinger και Raevsky, ο οποίος ήταν εξαιρετικά προικισμένος και με δημιουργική φαντασία. Ο Ρetrον (που πέθανε σε πολύ νεαρή ηλικία από φυματίωση, νομίζω) υποστήριζε ότι τα παιδιά δεν διδάσκονταν σωστά το μάθημα της αριθμητικής, καθώς διδάσκονταν τυποποιημένα προβλήματα και στερεότυπες μεθόδους για τη λύση τους. Για να επιβεβαιώσει την πεποίθησή τον, ο Petrov επινοούσε προβλήματα που ξέφευγαν από το συνηθισμένο πλαίσιο και έφερναν σε αμηχανία τους καλύτερους καθηγητές, αλλά επιλύονταν με ευκολία από επιδέξιους μαθητές στους οποίους δεν είχε ακόμη επιδράσει αρνητικά το σχολείο. Ένα από αυτά τα προβλήματα ήταν και εκείνο με τους θεριστές (ο Petrov είχε επινοήσει πλήθος τέτοιων προβλημάτων). Οι πεπειραμένοι καθηγητές μπορούσαν, φυσικά, να τα επιλύσουν με τη βοήθεια εξισώσεων, αλλά δεν κατάφερναν να βρουν λύση με την πρακτική αριθμητική. Μολαταύτα, το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι τόσο απλό, ώστε δεν υφίσταται ανάγκη να καταφύγουμε σε αλγεβρικές μεθόδους.
Αν ολόκληρο το συνεργείο εργάστηκε στο μεγαλύτερο λιβάδι μισή ημέρα και το μισό συνεργείο μισή ημέρα, τότε είναι σαφές ότι το μισό συνεργείο μπορεί να θερίσει το τον λιβαδιού σε μισή ημέρα. Κάτι τέτοιο σημαίνει ότι στο μικρότερο λιβάδι υπάρχει ένα τμήμα που δεν έχει θεριστεί και αποτελεί το της έκτασής του. Αν ένας εργάτης μπορεί να θερίσει το τον λιβαδιού σε μία ημέρα και συνολικά θερίστηκαν τα , τότε το συνεργείο πρέπει να αποτελείται από 8 θεριστές.

Ο Τολστόι, ο οποίος σε όλη τη ζωή τον απολάμβανε τα προβλήματα που περιλάμβαναν κάποιο τέχνασμα χωρίς να είναι ιδιαίτερα πολύπλοκα, έμαθε το συγκεκριμένο πρόβλημα από τον πατέρα μου σε νεαρή ηλικία. Όταν συνάντησα τον Τολστόι που ήταν πια ηλικιωμένος και συζήτησα μαζί του για το πρόβλημα, ενθουσιάστηκε με το γεγονός ότι το πρόβλημα καθίσταται ακόμη προφανέστερο, κυριολεκτικά διαφανές, αν χρησιμοποιηθεί στη λύση του ένα πολύ απλό σχήμα.
΄

Θεριστές (3).jpg (14.53 KiB) Προβλήθηκε 1919 φορές

Σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω και την αλγεβρική λύση που έδωσε ο Y. Perelman στην 1η έκδοση και προκάλεσε του ενδιαφέρον του καθηγητή A.V. Tsinger, όπως αναφέρεται παραπάνω.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους. Πληκτρολόγησα και την αλγεβρική λύση που δίνει ο Υ. Perelman στο βιβλίο του, οπότε φαίνεται ξεκάθαρα η υπεροχή της απλότητας της αριθμητικής λύσης (κάτι που βεβαίως δεν συμβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις).

Σε μια ομάδα θεριστών ανατέθηκε ο θερισμός δύο λιβαδιών. Η έκταση του ενός ήταν διπλάσια της έκτασης του άλλου. Για μισή μέρα η ομάδα εργάστηκε στο μεγάλο. Κατόπιν χωρίστηκε σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Η πρώτη παρέμεινε στο μεγαλύτερο λιβάδι και ολοκλήρωσε το θερισμό ως το βράδυ. Η άλλη θέρισε το μικρότερο λιβάδι, αλλά όταν βράδιασε της απέμεινε ένα τμήμα για να ολοκληρώσει το θερισμό. Το τμήμα αυτό το αποτελείωσε την επόμενη μέρα ένας εργάτης, εργαζόμενος όλη τη μέρα. Πόσους θεριστές είχε η ομάδα; (Δεχόμαστε, βεβαίως, ότι όλοι οι θεριστές δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό.)

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ:

Εδώ, εκτός από τον κύριο άγνωστο το πλήθος των αντρών, που Θα συμβολίσουμε με , είναι βολικό να εισαγάγουμε έναν ακόμη, βοηθητικό, άγνωστο. Συγκεκριμένα, το εμβαδόν της περιοχής που θερίζει ένας εργάτης μόνος τον σε μία ημέρα θα το συμβολίσουμε με . Αν και το πρόβλημα δεν απαιτεί να βρούμε το , θα μας βοηθήσει στην εύρεση του βασικού αγνώστου.

Τώρα, ας εκφράσουμε το εμβαδόν του μεγαλύτερου λιβαδιού συναρτήσει των και . Στη συγκεκριμένη περιοχή εργάστηκαν θεριστές για μισή ημέρα και θέρισαν έκταση με εμβαδόν .

Κατά τη διάρκεια του δεύτερου μισού της ημέρας, εργάστηκε εκεί το μισό συνεργείο, ή εργάτες, και θέρισαν έκταση με εμβαδόν .

Αφού ολόκληρο το λιβάδι είχε θεριστεί ως το βράδυ, το συνολικό τον εμβαδόν ήταν .

Τώρα, μέσω των και ας εκφράσουμε το εμβαδόν τον μικρότερου λιβαδιού. Συνολικά, εργάτες δούλεψαν σ' αυτό μισή ημέρα και θέρισαν έκταση με εμβαδόν .

Προσθέτοντας το εμβαδόν τον τμήματος που δεν θερίστηκε το οποίο είναι ίσο με (το εμβαδόν της έκτασης που θέρισε ο εργάτης ο οποίος δούλεψε μόνος για μία ημέρα), έχουμε το εμβαδόν τον μικρότερου λιβαδιού: .

Απομένει πλέον να τεθεί σε αλγεβρική γλώσσα η φράση «το ένα λιβάδι ήταν διπλάσιο σε έκταση από το άλλο», και τότε προκύπτει η εξίσωση


Απλοποιώντας το y (το οποίο άλλωστε δεν χρειάζεται), από το αριστερό μέλος της εξίσωσης, έχουμε μια εξίσωση με την εξής μορφή:
από την οποία προκύπτει ότι .

Το συνεργείο των θεριστών αποτελούνταν από άντρες.

[kalfokat]

Θα ήθελα να παραθέσω τη λύση που έδωσε ένας φίλος μου τοπογράφος και μου έκανε εντύπωση το πόσο διαφορετικά μπορεί να σκέφτεται κάποιος μη μαθηματικός.

Έστω Ν το πλήθος των θεριστών και Ε το εμβαδόν του μικρού χωραφιού.

Για να ολοκληρωθεί η εργασία απαιτήθηκαν Ν+1 μεροκάματα και θερίστηκε έκταση ίση με 3Ε.

Για τα 2Ε απαιτήθηκαν Ν -1/4 Ν μεροκάματα, δηλαδή 3/4 Ν
Για το Ε απαιτήθηκαν 1/4 Ν +1 => Για τα 2Ε απαιτήθηκαν 1/2 Ν + 2 μεροκάματα

Άρα Ν=8.

Το αξιοπρόσεκτο είναι πως ενώ έχει ορίσει ως αγνώστους το πλήθος των εργατών και το εμβαδόν, όπως και όλοι οι μαθηματικοί στις λύσεις που προτάθηκαν, μόλις αρχίζει την επίλυση του προβλήματος εισάγει τα μεροκάματα!