Τριώνυμο στο τριώνυμο

Tolaso J Kos · #1

Αν η εξίσωση
$\displaystyle{2x^2-2x +2 (1-3 \alpha \beta) =0}$ έχει ρίζα τον αριθμό $\alpha + \beta$ τότε:

να δειχθεί ότι $\alpha=\beta=1$ .
να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης.

Την κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά. Τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη. Είναι από Τραγανίτη. Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 24, 2018 8:20 pm
Αν η εξίσωση
$\displaystyle{2x^2-2x +2 (1-3 \alpha \beta) =0}$ έχει ρίζα τον αριθμό $\alpha + \beta$ τότε:

να δειχθεί ότι $\alpha=\beta=1$ .

να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης.

Την κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά. Τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη. Είναι από Τραγανίτη. Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα.

$\displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) + 1 - 3ab = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - ab - a - b + 1 = 0$

$\displaystyle 2{a^2} - 2ab + 2{b^2} - 2a - 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{a = b = 1}$

με ρίζες $\displaystyle 2, - 1$

KARKAR · #3

Στη συγκεκριμένη άσκηση αντιλαμβάνεται κανείς τη δυσκολία του θεματοδότη : Να δώσει την

εξίσωση ως : x^2-x+1-3ab=0

και άντε να βρει ο μαθητής τις ταυτότητες που κρύβονται ,

ή να τη δώσει ως : 2x^2-2x+2(1-3ab)

, προκαλώντας την απορία : "μα γιατί δεν απλοποιεί ;"

Προσωπικά , δεν θα μπορούσα να τη δώσω με τη δεύτερη μορφή ...

Tolaso J Kos · #4

Θανάση ,

ο Τραγανίτης την έχει όπως την έδωσα και τη συνοδεύει με υπόδειξη «μην απλοποιήσετε το 2».

Tolaso J Kos · #5

Και μία προσέγγιση που θα δικαιολογήσει το τίτλο. Ήταν η πρώτη λύση που έδωσα !

Εφόσον το $\alpha+\beta$ είναι ρίζα του τριωνύμου θα είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} 2\left ( \alpha+\beta \right )^2 -2\left ( \alpha +\beta \right ) +2 \left ( 1- 3 \alpha \beta \right ) =0 & \Leftrightarrow 2 \alpha^2 +4 \alpha \beta + 2 \beta^2 -2 \alpha -2\beta +2 - 6 \alpha \beta =0\\ &\Leftrightarrow 2\alpha^2 -2 \alpha \beta +2\beta^2 -2 \alpha -2\beta+2=0 \\ &\Leftrightarrow 2 \alpha^2 -2\alpha \left ( \beta+1 \right ) + \left (2\beta^2 -2 \beta + 2 \right )=0 \\ &\Leftrightarrow \alpha^2 -\alpha \left(\beta+1\right) +\left( \beta^2 - \beta+1 \right)=0 \end{aligned}}$
Η τελευταία τη θεωρούμε τριώνυμο ως προς $\alpha$ . Τότε η διακρίνουσα αυτού είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \Delta&= \left ( -\beta-1 \right )^2 -4 \left ( \beta^2-\beta+ 1 \right ) \\ &= \left ( \beta+1 \right )^2 - 4 \beta^2 + 4 \beta-4 \\ &= \beta^2 +2\beta + 1 - 4\beta^2 + 4 \beta-4\\ &= -3 \beta^2 + 6 \beta - 3 \\ &=-3 \left ( \beta^2 -2 \beta +1 \right ) \\ &= -3 \left ( \beta-1 \right )^2 \\ &\leq 0 \end{aligned}}$
Όμως η διακρίνουσα του τελευταίου τριωνύμου δε μπορεί να είναι αρνητική αφού έχει ρίζα, άρα είναι

και συνεπώς $\beta=1$ . Έπεται και ότι $\alpha=1$ .

#6

Πρώτα-πρώτα η εξίσωση είναι : ${x^2} - x + 1 - 3ab = 0$ ( το «μην απλοποιήσετε το

» δεν το σχολιάζω)

Αφού έχει ρίζα τον πραγματικό αριθμό r = a + b

θα έχω :

${r^2} - d + 1 - ab = 0 \Rightarrow$ ${a^2} - (b + 1)a + {b^2} - b + 1 = 0$ ( διατεταγμένο ως προς

)

που τη θεωρώ νέα εξίσωση με άγνωστο το

κι έχει διακρίνουσα $D = - 3{(b - 1)^2}$

. Αναγκαστικά $\boxed{b = 1}$ .

Αν διαταχθεί δε ως προς

με όμοιο τρόπο προκύπτει $\boxed{a = 1}$

Τώρα έχω την εξίσωση : ${x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\,\, \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Βλέπω κι έχω συντονισμό , αλλά τ αφήνω για τον κόπο.

Τόλη γιατί βιάζεσαι!

Tolaso J Kos · #7

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2018 1:48 pm

Βλέπω κι έχω συντονισμό , αλλά τ αφήνω για τον κόπο.

Τόλη γιατί βιάζεσαι!

Καλημέρα Νίκο !!

Τριώνυμο στο τριώνυμο

Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση