Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παραγοντοποίηση και εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 15, 2017 12:41 pm

Αφού παραγοντοποιήσετε την παράσταση \displaystyle P(x) = {({x^2} + 2x - 2)^2} - 9{x^2} - 8x + 16,

να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5270
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 15, 2017 1:23 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 12:41 pm
Αφού παραγοντοποιήσετε την παράσταση \displaystyle P(x) = {({x^2} + 2x - 2)^2} - 9{x^2} - 8x + 16,

να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
Κάτι άλλο είναι από πίσω αλλά αδυνατώ να το εντοπίσω αυτή τη στιγμή. Ανοίγουμε το τετράγωνο και κατά συνέπεια το πολυώνυμο {\rm P} γράφεται ως
\displaystyle{{\rm P} \left ( x \right ) = x^4+4x^3-9x^2-16x + 20} Παρατηρούμε πως το 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. Εύλογο λοιπόν είναι να προσπαθήσουμε να φτιάξουμε έναν παράγοντα της μορφής (x-1). Γράφουμε το {\rm P} ως εξής:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm P} (x) &= x^4+4x^3-9x^2-16x +20 \\  
 &= x^4 - x^3 +5x^3 - 5x^2 -4x^2 +4x-20x +20\\  
 &=x^3 \left ( x-1 \right ) + 5x^2 \left ( x-1 \right )-4x\left ( x-1 \right ) -20(x-1) \\  
 &= \left ( x-1 \right )\left [ x^3+5x^2-4x-20 \right ]\\  
 &= \left ( x-1 \right ) \left [ x^2 \left ( x+5 \right )-4\left ( x+5 \right ) \right ] \\ 
 &= \left ( x-1 \right )\left ( x+5 \right )\left ( x^2-4 \right ) \\ 
 &=\left ( x-2 \right ) \left ( x-1 \right ) \left ( x+2 \right ) \left ( x+5 \right )  
\end{aligned}}
Άρα οι ρίζες είναι οι x=-5 \; , \; x =-2 \; , \; x =1 \; , \; x=2.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1528
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Νοέμ 15, 2017 1:55 pm

Αλλιώς :

\displaystyle{\begin{aligned}P(x)&=(x^2+2\,x-2)^2-9\,x^2-8\,x+16\\&=[(x^2+2\,x-2)-3\,x]\,[(x^2+2\,x-2)+3\,x]-8\,(x-2)\\&=(x^2-x-2)\,(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)\,\left[(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1)((x+1)^2+3\,(x-1)-8)\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1)^3-2^3+3\,(x+1)\,(x-1)\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1-2)((x+1)^2+2\,(x+1)+4)+3\,(x+1)\,(x-1)\right]\\&=(x-2)\,(x-1)\,((x+1)^2+2\,(x+1)+4)+3\,(x+1))\\&=(x-2)\,(x-1)\,\left[(x+1)^2+5\,(x+1)+4\right]\\&=(x-2)\,(x-1)\,((x+1)+4))((x+1)+1)\\&=(x-2)\,(x-1)\,(x+5)\,(x+2) \end{aligned}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1447
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Νοέμ 15, 2017 3:14 pm

Και λίγο διαφορετικά:

\displaystyle P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x - 2} \right)^2} - 9{x^2} - 8x + 16 =

\displaystyle  = {\left( {{x^2} + 2x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =

\displaystyle  = \left( {{x^2} + 2x - 2 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x - 2 + x} \right) - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =

\displaystyle  = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 2} \right) - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =

\displaystyle  = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) =

\displaystyle  = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right).


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες