Συντομότερη διαδρομή

KARKAR · #1

: Μικρότερη διαδρομή.png (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1341 φορές

Τα σημεία M,N

είναι τα μέσα των πλευρών BC,DC

αντίστοιχα , ορθογωνίου ABCD

,

διαστάσεων $a\times b , a>b$ . Η διαδρομή A-M-C

είναι συντομότερη ή η A-N-C

;

#2

Θανάση καλησπέρα. Πολύ ωραίο και διδακτικό. (Οι ανισότητες έχουν υποβαθμιστεί τα τελευταία χρόνια ή είναι η ιδέα μου;)

Φαντάζομαι θα θες να το αφήσουμε λιγάκι ακόμα για τους νεότερους!

Κάνε και μια διευκρίνηση, αφού η άσκηση είναι καθαρόαιμη Θεσσαλική: " Δίχως μπλόκα στις διαδρομές".

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Έχουμε ότι $AN=\sqrt{b^2+\dfrac{a^2}{4}}$ και $NC=\dfrac{a}{2}$ , άρα $AN+NC=\sqrt{b^2+\dfrac{a^2}{4}}+\dfrac{a}{2}$ (1)

Όμοια έχουμε ότι $AM=\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{4}}$ και $MC=\dfrac{b}{2}$ , άρα $AM+MC=\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{4}}+\dfrac{b}{2}$ (2)

Θα αποδείξουμε πως (2)>(1), δηλαδή $\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{4}}+\dfrac{b}{2}>\sqrt{b^2+\dfrac{a^2}{4}}+\dfrac{a}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{4a^2+b^2}+b>\sqrt{4b^2+a^2}+a$

Θέτουμε για ευκολία a=b+c

, όπου

θετικός πραγματικός.

Έχουμε:

$\sqrt{4a^2+b^2}+b>\sqrt{4b^2+a^2}+a\Leftrightarrow$ $\sqrt{4(b+c)^2+b^2}+b>\sqrt{4b^2+(b+c)^2}+b+c\Leftrightarrow$ $\sqrt{4(b+c)^2+b^2}>\sqrt{4b^2+(b+c)^2}+c\Leftrightarrow$ $4(b+c)^2+b^2>4b^2+(b+c)^2+c^2+2c\sqrt{4b^2+(b+c)^2}\Leftrightarrow...\Leftrightarrow$ $2c^2+6bc>2c\sqrt{4b^2+(b+c)^2}\Leftrightarrow$ $(2b)+(b+c)>\sqrt{4b^2+(b+c)^2}=\sqrt{(2b)^2+(b+c)^2}$ , που ισχύει από την ανισότητα $x+y>\sqrt{x^2+y^2}$ .

#4

KARKAR έγραψε:Μικρότερη διαδρομή.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , ορθογωνίου ,

διαστάσεων $a\times b , a>b$ . Η διαδρομή είναι συντομότερη ή η ;

Καλημέρα!

Θα δείξω ότι $\displaystyle{AM + MC > AN + NC \Leftrightarrow }$ $\boxed{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + b > \sqrt {4{b^2} + {a^2}} + a}$

$\displaystyle{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} - \sqrt {4{b^2} + {a^2}} + b - a = \frac{{\left( {\sqrt {4{a^2} + {b^2}} - \sqrt {4{b^2} + {a^2}} } \right)\left( {\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + \sqrt {4{b^2} + {a^2}} } \right)}}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + \sqrt {4{b^2} + {a^2}} }} - (a - b) = }$

$\displaystyle{\frac{{3(a - b)(a + b)}}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + \sqrt {4{b^2} + {a^2}} }} - (a - b) = (a - b)\left( {\frac{{3(a + b)}}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + \sqrt {4{b^2} + {a^2}} }} - 1} \right) > 0}$

Η δεύτερη παρένθεση είναι θετική από τριγωνική ανισότητα. Πράγματι,

$\displaystyle{a + \frac{b}{2} > AM,\frac{a}{2} + b > AN \Leftrightarrow 3(a + b) > 2(AM + AN) \Leftrightarrow \frac{{3(a + b)}}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2}} + \sqrt {4{b^2} + {a^2}} }} > 1}$

Al.Koutsouridis · #5

Καλημέρα,

Το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί στην εφαρμογή 1 του βιβλίο της Α' Λυκείου (ανισοτικες σχέσεις τριγώνου):

Αν

είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC

, τότε

.

KARKAR · #6

: Μεγαλύτερο τμήμα.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Υποθέτω ότι ο Αλέξανδρος υπονοεί κάτι σαν αυτό : Αν

το μέσο της

, και

το

συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

, τότε προφανώς AM+MC' >AS+SC'

.

Αλλά το συμμετρικό

, του

, ως προς την

είναι σημείο του

( γιατί; ) , συνεπώς

εσωτερικό του τριγώνου AMB

, δηλαδή : AN+NC=AS+SC=AS+SC'

, ό. έ . δ.

Η τοποθέτηση , πάντως , του θέματος στο φάκελο της Γ' Γυμνασίου απέβλεπε σε λύση αλγεβρική .

Πράγματι η αποδεικτέα : $\sqrt{4a^2+b^2}+b >\sqrt{4b^2+a^2}+a$ , με ύψωση στο τετράγωνο

γίνεται : $a^2+b\sqrt{4a^2+b^2}>b^2+a\sqrt{4b^2+a^2}$ , με δεύτερη ύψωση φθάνει στην

$a\sqrt{4a^2+b^2}>b\sqrt{4b^2+a^2}$ , ενώ με μια τρίτη ύψωση , καταλήγει στην a^4>b^4

,

η οποία λόγω της θετικότητας των πάντων είναι ισοδύναμη με τη ζητούμενη σχέση .

Al.Koutsouridis · #7

Καλησπέρα κ.Θανάση,

Ναι αυτό είχα στο μυαλό σε λίγο πιο διαφορετικό σχήμα. Βέβαια ξεκίνησα με το σκεπτικό ότι η τριγωνική ανισότητα είναι στην ύλη του γυμανσίου αλλά από οτι βλέπω δεν είναι. Το γιατί εσωτερικό σημείο πιστεύω ειναι καλή γυμανστική για την Α' Λυκείου.

: suntomoterh_diadromh.png (87.15 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Συντομότερη διαδρομή

Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Re: Συντομότερη διαδρομή

Μέλη σε σύνδεση