Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Μαρ 10, 2012 8:50 pm

Άσκηση 1

Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3

x\cdot y=a\cdot b

\displaystyle{x>y} και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.
τελευταία επεξεργασία από Παύλος Μαραγκουδάκης σε Κυρ Μαρ 11, 2012 3:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
wolfram
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 08, 2012 7:20 pm

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wolfram » Σάβ Μαρ 10, 2012 10:33 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3

x\cdot y=a\cdot b

\displaystyle{x>y} και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.
Έστω y = 0

* Αν b = 0 τότε x = a και y = b άρα είμαστε οκ.

* Αν a = 0 τότε b = x > y = 0 = a δηλαδή b > a , άτοπο.

'Eστω y \neq 0 τότε x = \frac{ab}{y} και y^6 - (a^3+b^3)y^3 + (ab)^3 = 0 ή (y^3 - a^3)(y^3 - b^3) = 0 \Leftrightarrow y = a ~or~ y = b

* Αν y = a τότε x = b και b = x > y = a δηλ b > a άτοπο.

* Αν y = b τότε x = a .

Οι λύσεις μας επαληθεύουν τα δεδομένα.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Μαρ 11, 2012 11:46 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3 (1)
x\cdot y=a\cdot b (2)
\displaystyle{x>y} και a>b (3)
να αποδείξετε ότι x=a και y=b.
Μια παρόμοια λύση.

1) Για a ,y διάφορα του μηδενός έχουμε
xy=ab \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{b}{y}=t  \rightarrow (x=at  \wedge y=bt)
αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
a^3t^3+y^3=a^3+b^3t^3  \leftrightarrow a^3(t^3-1)=b^3(t^3-1) \leftrightarrow (t^3-1)(a^3-b^3)=0  \leftrightarrow  (t=1  \vee  a=b)
Λόγω (3) απορρίπτεται η λύση a=b ενώ για t=1 παίρνουμε x=a και y=b δηλ την ζητούμενη σχέση

2α) Αν τώρα είναι a=0 τότε xy=0  \leftrightarrow (x=0 \vee y=0)
αν x=0 τότε η (1) δίνει b=y και έχει καλώς
αν y=0 τότε η (1) δίνει b=x που είναι άτοπο αφού 0=a>b=x>y=0 λόγω της (3)

2β)Αν τώρα είναι y=0 τότε η αντιμετώπιση είναι παρόμοια με την περίπτωση 2α


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Μαρ 11, 2012 3:40 pm

Άσκηση 2η

Αν x,y,a,b είναι θετικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

x^3+y^3=a^3+b^3

x^2+y^2=a^2+b^2

x>y και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Αύγ 03, 2013 12:46 pm

H λύση της άσκησης 2 είναι εδώ.

Άσκηση 3

Αν x,y,z,a,b,c είναι πραγματικοί αριθμοί με x>y>z και a>b>c για τους οποίους ισχύουν

x+y+z=a+b+c

xyz=abc

x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2

τότε να αποδειχθούν:

1) \left(x-a \right)\left( x-b\right)\left(x-c \right)=0

2) x=a,y=b,z=c.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μαρ 27, 2020 7:17 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Σάβ Αύγ 03, 2013 12:46 pm
H λύση της άσκησης 2 είναι εδώ.

Άσκηση 3

Αν x,y,z,a,b,c είναι πραγματικοί αριθμοί με x>y>z και a>b>c για τους οποίους ισχύουν

x+y+z=a+b+c

xyz=abc

x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2

τότε να αποδειχθούν:

1) \left(x-a \right)\left( x-b\right)\left(x-c \right)=0

2) x=a,y=b,z=c.
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης