Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους ! Η παρούσα άσκηση είναι προσωπική τροποποίηση θέματος από τον διαγωνισμό
ΜΠΑΡΜΠΑΣΤΑΘΕΙΑ (24-11-2017) που πραγματοποιήσαμε στην πόλη της Άρτας .
Δεν θέτω τα ενδιάμεσα ερωτήματα εδώ , για να μπορεί ο κάθε λύτης να ακολουθεί ελεύθερη διαδρομή μέχρι την τελική απάντηση.

: Μπαρμπαστάθεια 2017.PNG (5.24 KiB) Προβλήθηκε 1486 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει περίμετρο 28 cm

,

και είναι

.

Φέρω κάθετη στην

στο μέσον της

που τέμνει την

στο

.

Να δειχθεί ότι το

είναι μεταξύ των A ,B

και να βρεθεί το (OPB)

Ας αφήσουμε την πρώτη απάντηση να δοθεί από μαθητή - ή

ώρες- κι' έπειτα ευπρόσδεκτες οι διάφορες προσεγγίσεις από όλους !

Ευχαριστώ Γιώργος .

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2017 2:00 am
Καλημέρα σε όλους ! Η παρούσα άσκηση είναι προσωπική τροποποίηση θέματος από τον διαγωνισμό
ΜΠΑΡΜΠΑΣΤΑΘΕΙΑ (24-11-2017) που πραγματοποιήσαμε στην πόλη της Άρτας .
Δεν θέτω τα ενδιάμεσα ερωτήματα εδώ , για να μπορεί ο κάθε λύτης να ακολουθεί ελεύθερη διαδρομή μέχρι την τελική απάντηση.
Μπαρμπαστάθεια 2017.PNG
Το ορθογώνιο έχει περίμετρο , και είναι .

Φέρω κάθετη στην στο μέσον της που τέμνει την στο .

Να δειχθεί ότι το είναι μεταξύ των και να βρεθεί το

Ας αφήσουμε την πρώτη απάντηση να δοθεί από μαθητή - ή ώρες- κι' έπειτα ευπρόσδεκτες οι διάφορες προσεγγίσεις από όλους !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Καλησπέρα Γιώργο!

Έστω AB=a, BC=b, a>b

και

η προβολή του

στην

: Μπαρμπαστάθεια 2017.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 1321 φορές

$\displaystyle a > b \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} \Leftrightarrow 2{a^2} > {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} > 50 \Leftrightarrow {a^2} > O{A^2} + O{B^2},$ άρα η γωνία $A\widehat OB$ είναι αμβλεία

οπότε υπάρχει σημείο

εσωτερικό του τμήματος AB,

ώστε $A\widehat OP=90^0.$

$\displaystyle a + b = 14,{a^2} + {b^2} = 100$ και λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε $\boxed{a=8 cm}$ και $\boxed{b=6 cm}$ άρα OH=3 cm

και με Πυθαγόρειο, AH=4 cm.

Αλλά, $\displaystyle O{A^2} = AH \cdot AP \Leftrightarrow AP = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow PB = 8 - \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow PB = \frac{7}{4} cm$ και

$\displaystyle (OPB) = \frac{{PB \cdot OH}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(OPB) = \frac{{21}}{8}cm^2}$

#3

Καλησπέρα σε όλους! Προσπάθησα να δώσω μια διαφορετική απάντηση σε σχέση με τον Γιώργο στο όμορφο πρόβλημα του Γιώργου.

: 27-11-2017 Γ Γυμνασίου.jpg (32.8 KiB) Προβλήθηκε 1287 φορές

Κατασκευάζουμε τον κύκλο (O, 5)

, που διέρχεται από τα A, B, C

.
Η κάθετη

στο μέσο της διαμέτρου

τέμνει το τόξο $\displaystyle \mathop {AC}\limits^ \cap$ στο μέσο

.

Αφού

θα είναι και $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \cap > \mathop {BC}\limits^ \cap$ , άρα το

είναι σημείο του $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \cap$ , οπότε και το

είναι σημείο της χορδής

.

Κατόπιν, αν AB =x, 7< x <14

, τότε

.

Από Πυθαγόρειο στο ABC

είναι $\displaystyle {x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = {10^2} \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 48 = 0 \Leftrightarrow x = 8$ .

Οπότε AB = 8 cm, BC = 6 cm

.

Τα

είναι όμοια ως ορθογώνια με κοινή οξεία γωνία, άρα είναι

$\displaystyle \frac{{OP}}{{BC}} = \frac{{AO}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{OP}}{6} = \frac{5}{8} \Leftrightarrow OP = \frac{{15}}{4}\;cm$ .

Είναι $\displaystyle \left( {AOP} \right) = \frac{{AO \cdot OP}}{2} = \frac{{75}}{8}\;c{m^2}$ και $\displaystyle \left( {AOB} \right) = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{2} = \frac{{AB \cdot BC}}{4} = 12\;c{m^2}$ (αφού η διάμεσος

χωρίζει το ABC

σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα),

άρα $\displaystyle \left( {OPB} \right) = \left( {AOB} \right) - \left( {AOP} \right) = 12 - \frac{{75}}{8} = \frac{{21}}{8}\;c{m^2}$ .

kfd · #4

Για να είναι το Ρ εσωτερικό του ΑΒ πρέπει και αρκεί $\measuredangle AOB>\measuredangle AOP=90^{0}$ . Aν BC=x,AB=14-x

από ΠΘ στο ΑΒC έχω x=6

αφού

.Άρα

.Aπό νόμο συνημιτόνων στο τρ. ΑΒΟ έχω $cos\left ( \left ( \measuredangle AOB \right ) \right )=-\frac{7}{25}<0$ oεδ. Ενναλακτικά τα τρίγωνα BOA και BOC έχουν από 2 πλευρές ίσες και άνισες τις τρίτες, άρα θα έχουν ομοίως άνισες και τις απέναντι γωνίες τους, που είναι και παραπληρωματικές, άρα $\measuredangle BOA>\measuredangle BOC$ ,δηλαδή $\measuredangle AOB>90^{0}$ .
Αν $\measuredangle BAO=\omega$ τότε και $\measuredangle ABO=\omega$ , άρα $cos\omega =\frac{5}{AP}=0,8\Rightarrow AP=6,25,BP=1,75,\left ( BPO \right )=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 1,75\cdot sin \omega =2,625$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό μεσημέρι. Ευχαριστώ θερμά τους αγαπητούς Γιώργο και Γιώργο και τον φίλο kfd για την συνδρομή τους !
Ελαφρά παραλλαγή στην συνέχεια με χρήση του σχήματος :

: 29-11 Μπαρμπαστάθεια 2017.PNG (9.21 KiB) Προβλήθηκε 1190 φορές

Όπως είδαμε είναι AB=8..BC=6

. Τότε $\varepsilon \varphi \omega =6/8 < 1\Rightarrow \omega < 45^{0}$ δηλ η $A\widehat{O}B$ είναι αμβλεία ..
Το τετράπλευρο OPBC

έχει δύο απέναντι γωνίες ορθές άρα είναι εγγράψιμο :

$AP\cdot AB=AO\cdot AC\Rightarrow AP=25/4..BP=8-25/4=7/4$ .

Ακόμη $\eta \mu \theta =\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{BP}{AP}=\dfrac{7}{25}$ ενώ $OP=OA\cdot \varepsilon \varphi \omega =15/4$
οπότε $\left ( OPB \right )=\dfrac{1}{2}\cdot OB\cdot OP\cdot \eta \mu \theta =..=\dfrac{21}{8}$

Eναλλακτικά για τα AP,OP

. Το τρίγωνο OPA

είναι όμοιο με το ''βασικό Πυθαγόρειο'' τρίγωνο πλευρών 3,4,5

και $OA=5=4\cdot5/4$ συνεπώς $OP=3\cdot5/4=15/4$ και $AP=5\cdot 5/4=25/4$ .

Φιλικά Γιώργος.

Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Re: Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Re: Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Re: Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Re: Από τα Μπαρμπαστάθεια 2017

Μέλη σε σύνδεση