Οι δύο φίλοι

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης, έχουν από ένα σακουλάκι με καραμέλες.
Ακολούθησε ο εξής διάλογος:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Μάνο, έχω πολύ περισσότερες από τις δικιές σου. Σου δίνω πρώτα καραμέλες και ύστερα θα σου τις διπλασιάσω.
ΜΑΝΟΣ: Για να δω πόσες έχει ο καθένας μας...Ά!!! έχουμε από ίσες!!!
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Δεν το βλέπω και τόσο δίκαιο.
ΜΑΝΟΣ: Σου ξαναδίνω πίσω όσες μου έδωσες και αν θέλεις δώσε μου κάποιες εσύ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Θα σου δώσω πρώτα εγώ αλλά ύστερα εσύ θα μου δώσεις το ένα τρίτο από αυτές που θα συγκεντρώσεις.
ΜΑΝΟΣ: Ωραία , ας ξανά μετρήσουμε τώρα τις καραμέλες μας... Α! Δεν είναι δυνατόν!! Πάλι από ίσες έχουμε!!!
Πόσες καραμέλες είχαν στην αρχή οι δύο φίλοι;

[abgd]

Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης, έχουν από ένα σακουλάκι με καραμέλες.
Ακολούθησε ο εξής διάλογος:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Μάνο, έχω πολύ περισσότερες από τις δικιές σου. Σου δίνω πρώτα καραμέλες και ύστερα θα σου τις διπλασιάσω.
ΜΑΝΟΣ: Για να δω πόσες έχει ο καθένας μας...Ά!!! έχουμε από ίσες!!!
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Δεν το βλέπω και τόσο δίκαιο.
ΜΑΝΟΣ: Σου ξαναδίνω πίσω όσες μου έδωσες και αν θέλεις δώσε μου κάποιες εσύ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Θα σου δώσω πρώτα εγώ αλλά ύστερα εσύ θα μου δώσεις το ένα τρίτο από αυτές που θα συγκεντρώσεις.
ΜΑΝΟΣ: Ωραία , ας ξανά μετρήσουμε τώρα τις καραμέλες μας... Α! Δεν είναι δυνατόν!! Πάλι από ίσες έχουμε!!!
Πόσες καραμέλες είχαν στην αρχή οι δύο φίλοι;

Έστω οι καραμέλες του Μάνου.

Αφού του δώσει ο Δημήτρης και μετά άλλες , για να τις διπλασιάσει, τότε ο Μάνος θα έχει , όσες έχει τώρα ο Δημήτρης.

Έτσι αρχικά οι καραμέλες του Δημήτρη θα ήταν .

Ο Μάνος ξαναδίνει τις καραμέλες που πήρε από το Δημήτρη και έτσι έχουν: ο Μάνος και ο Δημήτρης.

Ο Δημήτρης του δίνει καραμέλες και παίρνει από τον Μάνο το και έχουν πάλι ... "από ίσες".

Έτσι



Άρα αρχικά ο Μάνος είχε καραμέλες και ο Δημήτρης .

[YeseniaJensen]

Έστω ότι x είναι ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Μάνος αρχικά και y ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Δημήτρης αρχικά.

• Μετά την προσφορά των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει x+4 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−4 καραμέλες.

• Στη συνέχεια, ο Δημήτρης διπλασιάζει τον αριθμό των καραμελών που έχει ο Μάνος, έτσι ο Μάνος θα έχει 2(x+4) καραμέλες.

Αυτή τη στιγμή, ο Μάνος και ο Δημήτρης έχουν τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2(x+4)=y−4
Αυτό απλοποιείται σε:
2x+8=y−4
2x + 12 = y (Εξιˊσωση 1)

• Μετά την επιστροφή των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει 2x+8 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8 καραμέλες.
  Στη συνέχεια, ο Δημήτρης δίνει στον Μάνο 20 καραμέλες. Μετά από αυτό, ο Μάνος θα έχει 2x+8+20=2x+28 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8−20=y−28 καραμέλες.

Ο Μάνος έχει 2x+28 καραμέλες, άρα το ένα τρίτο αυτών είναι: 1/3(2x+28)
Ο Μάνος δίνει αυτό το ποσό στον Δημήτρη, οπότε μετά την ανταλλαγή ο Μάνος θα έχει:
2x + 28 − 1/3(2x + 28) = 2/3(2x + 28)
και ο Δημήτρης θα έχει: y - 28 + 1/3(2x + 28)
Αυτή τη στιγμή, έχουν πάλι τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Έχουμε τώρα το σύστημα δύο εξισώσεων: y=2x+12
\frac{2}{3}(2x + 28) = y - 28 + \frac{1}{3}(2x + 28) ]
Αρχικά απλοποιούμε τη δεύτερη εξίσωση: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το 3 για να εξαλείψουμε τα κλάσματα:
2(2x + 28) = 3(y - 28) + (2x + 28)
Απλοποιούμε και τις δύο πλευρές:
4x+56=3y−84+2x+28
4x+56=3y−56+2x
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x και το y στη μία πλευρά:
4x−2x=3y−56−56
2x=3y−112
Αντικαθιστούμε y=2x+12 από την Εξίσωση 1:
2x=3(2x+12)−112
Απλοποιούμε:
2x=6x+36−112
2x=6x−76
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x στη μία πλευρά:
2x−6x=−76
−4x=−76
x=19 getaway shootout
Αντικαθιστούμε το x=19 στην εξίσωση y=2x+12:
y=2(19)+12=38+12=50
Ο Μάνος είχε αρχικά 19 καραμέλες και ο Δημήτρης είχε αρχικά 50 καραμέλες.