Πλήθος αριθμών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πλήθος αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:24 am

Συμβολίζω με \pi\lambda(D) , το πλήθος των στοιχείων του συνόλου D , για παράδειγμα

αν : D=\{ 0,1,2,3,4,5,6 \} , τότε : \pi\lambda(D)=7 .

Για τον φυσικό n\geq 1 , ορίζουμε το σύνολο A=\{ 0,1,2,3, .....,10^n \} .

Κάποια από τα στοιχεία του A είναι τέλεια τετράγωνα . Αυτά ανήκουν στο σύνολο

B=\{ 0,1,4,9, 16 , ... \} . Για κάθε n\geq 1 , υπολογίστε το \pi\lambda(B) .

Σημείωση πολύ αργότερα : Για τον δεκαδικό αριθμό : a=3,1622 ορίζουμε ως ακέραιο μέρος

του a και συμβολίζουμε με [a] , το [a]=3 , δηλαδή τον αριθμό χωρίς το δεκαδικό του μέρος .



Λέξεις Κλειδιά:
qwerty
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Πλήθος αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Σάβ Ιούλ 18, 2020 3:21 pm

Αρκεί να βρούμε έναν αριθμό, ας τον ονομάσουμε a, ο οποίος ανήκει στο σύνολο A, τέτοιος ώστε το τετράγωνό του να μη ξεπερνάει τον 10^n, αλλά ο επόμενός του να το ξεπερνάει.
Συμβολικά έστω a\in A έτσι ώστε a^2 \leq 10^n και (a+1)^2 >10^n.
Τότε \pi \lambda \left ( B \right ) = \sqrt{a} + 1 και το +1 γιατί πρέπει να μετρήσουμε και το μηδέν.

Πάμε να βρούμε τον αριθμό a:
Από τις παραπάνω ανισότητες, έχουμε a^2 \leq 10^n \Leftrightarrow a \leq 10^\frac{n}{2} \left ( * \right )
και (a+1)^2 >10^n \Leftrightarrow 10 ^ \frac{n}{2} < a+1 \left ( ** \right ).
Γράφουμε τις  \left ( * \right ) και  \left (** \right ) μαζί. Οπότε έχουμε:
a \leq 10^\frac{n}{2} < a + 1 \Leftrightarrow a = [10^\frac{n}{2}] (εφαρμόζουμε τον ορισμό του ακεραίου μέρους).
Άρα \pi \lambda \left ( B \right ) = \sqrt{ [10^\frac{n}{2}]} + 1

ΥΓ: Εδώ βέβαια χρησιμοποίησα και ορολογίες που δεν τις ξέρει ένας μέσος μαθητής γυμνασίου, πχ ακέραιο μέρος και το οτι a^\frac{1}2{} = \sqrt{a} εξ ορισμού.


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες