Εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Οκτ 16, 2017 5:50 am

ΕΜΒΑΔΟΝ.png
ΕΜΒΑΔΟΝ.png (50.73 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές
Ένα τετράγωνο χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τετράγωνα. Ενώνουμε κάθε κορυφή με το μέσο μιας απέναντι πλευράς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο ποσοστό του μεγάλου τετραγώνου είναι γραμμοσκιασμένο;


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7320
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 16, 2017 9:07 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Δευ Οκτ 16, 2017 5:50 am
ΕΜΒΑΔΟΝ.png

Ένα τετράγωνο χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τετράγωνα. Ενώνουμε κάθε κορυφή με το μέσο μιας απέναντι πλευράς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο ποσοστό του μεγάλου τετραγώνου είναι γραμμοσκιασμένο;
Εμβαδόν Β..png
Εμβαδόν Β..png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές
Έστω a η πλευρά του τετραγώνου. Το καθένα από τα χρωματιστά ορθογώνια τρίγωνα έχει μία κάθετη πλευρά ίση με \dfrac{a}{2} και την

άλλη κάθετη πλευρά ίση με \dfrac{a}{4}. Δηλαδή, το κάθε τρίγωνο έχει εμβαδόν \displaystyle E = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{4} = \frac{{{a^2}}}{{16}} και όλο το γραμμοσκιασμένο χωρίο

θα έχει εμβαδόν 4E=\dfrac{a^2}{4}, που σημαίνει ότι καλύπτει το \dfrac{1}{4} του τετραγώνου ή αλλιώς το 25\%.


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Οκτ 16, 2017 10:43 am

Γιώργο, πολύ ωραία! Παρατηρώντας το όμορφο σχήμα του Γιώργου, προέκυψαν οι εξής ερωτήσεις:
Οι διακεκομμένες γραμμές χωρίζουν το κίτρινο τρίγωνο σε δύο μέρη, ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο. Μπορούμε να βρούμε τα εμβαδά των δύο αυτών περιοχών; (συναρτήσει του a)

Το πράσινο τρίγωνο χωρίζεται σε τρία μέρη. Μπορούμε να βρούμε κι αυτά τα εμβαδά; (Δεν έχω απάντηση εντός φακέλλου αλλά με εργαλεία της γ΄ γυμνασίου.)


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7320
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 16, 2017 7:31 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Δευ Οκτ 16, 2017 10:43 am
Γιώργο, πολύ ωραία! Παρατηρώντας το όμορφο σχήμα του Γιώργου, προέκυψαν οι εξής ερωτήσεις:
Οι διακεκομμένες γραμμές χωρίζουν το κίτρινο τρίγωνο σε δύο μέρη, ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο. Μπορούμε να βρούμε τα εμβαδά των δύο αυτών περιοχών; (συναρτήσει του a)

Το πράσινο τρίγωνο χωρίζεται σε τρία μέρη. Μπορούμε να βρούμε κι αυτά τα εμβαδά; (Δεν έχω απάντηση εντός φακέλλου αλλά με εργαλεία της γ΄ γυμνασίου.)
Καλησπέρα Παύλο!

Εκτός φακέλου.
Εμβαδόν Β.b.png
Εμβαδόν Β.b.png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
α) Στο Σχήμα 1, ζητούμε τα εμβαδά του τριγώνου BEZ και του τετραπλεύρου EZCN. Τα τρίγωνα ABZ, 
 BCN είναι ίσα,

οπότε τα BCN, BEZ είναι όμοια και από Π. Θ είναι \displaystyle B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}} = \frac{{5{a^2}}}{{16}}

\displaystyle \frac{{(BEZ)}}{{(BCN)}} = \frac{{B{Z^2}}}{{B{N^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow (BEZ) = \frac{{(BCN)}}{5} \Leftrightarrow \boxed{(BEZ)=\frac{a^2}{80}} και \boxed{(EZCN)=\frac{a^2}{20}}

β) Στο Σχήμα 2, είναι όπως και πριν \boxed{(DPN)=\frac{a^2}{80}} Θα υπολογίσουμε τα εμβαδά (PNQ), 
 (NQMC).

Έστω \displaystyle QH \bot DC. Το Q είναι βαρύκεντρο του τριγώνου LDC, άρα \displaystyle NQ = \frac{{NL}}{3} \Leftrightarrow QH = \frac{{LC}}{3} = \frac{a}{6}

\displaystyle (DNQ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{a}{6} = \frac{{{a^2}}}{{48}} \Rightarrow (PNQ) = \frac{{{a^2}}}{{48}} - \frac{{{a^2}}}{{80}} \Leftrightarrow \boxed{(PNQ)=\frac{a^2}{120}} και \boxed{(NQMC)=\frac{a^2}{24}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης