Με τι ισούται ;

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Με τι ισούται ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Σεπ 22, 2017 3:04 pm

Έστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .



Λέξεις Κλειδιά:
Panagiotis11
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Με τι ισούται ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panagiotis11 » Παρ Σεπ 22, 2017 11:42 pm

Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση 360n+11οπότε
με τον περιορισμό n=0,1,2,3 παίρνουμε τις λύσεις:
11,371,731,1091


Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με τι ισούται ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 23, 2017 12:00 am

Panagiotis11 έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 11:42 pm
Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση 360n+11οπότε
με τον περιορισμό n=0,1,2,3 παίρνουμε τις λύσεις:
11,371,731,1091
Κινέζικο στην Β Γυμνασίου;
Παναγιώτη γνωρίζεις την απόδειξη του;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με τι ισούται ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 23, 2017 12:09 am

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 3:04 pm
Έστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .

Για χάρη των μαθητών ας δούμε μία λύση πιο κοντά στα παιδιά της Β' Γυμνασίου.

Οι αριθμοί μας είναι συγχρόνως της μορφής 9a+2, \, 8b+3, \, 5c+1. Από την ισότητα 9a+2= 8b+3 έχουμε a-1=8(b-a)=8d, οπότε a=8d+1 και ο αριθμός μας έχει την μορφή 9a+2=9(8d+1)=72d+11. Άρα 72d+11=5c+1 ή αλλιώς 72d= 5c-10. Συνεπώς ο 5 διαιρεί τον 72d = 2^3\cdot 3^2 d και άρα (από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους) ο 5 διαρεί τον d. Γράφουμε d=5e , οπότε ο αριθμός μας είναι της μορφής 72d+11=360e+11.

Βάζοντας e= 0, \, ... \,, 3 παίρνουμε τις τιμές 11, \, 371, \, 731, \, 1091 (όπως πριν).

Edit: Τώρα είδα το σχόλιο του Σταύρου. Συμφωνούμε.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Με τι ισούται ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Σεπ 23, 2017 5:23 pm

Ωραία! Υπάρχει κι άλλη λύση, η οποία βασίζεται στο θεώρημα που έγραψα στο IMC 2016!

Η θεωρία είναι όμως Β ' Λυκείου , οπότε στη Β ' Γυμνασίου δεν νομίζω ότι κολλάει . Θα το βάλω όμως όταν εξαντληθούν οι λύσεις !

Η λύση του κ . Μιχάλη ήταν πολύ καλή και την είχα κι αυτήν στο μυαλό μου .

Η άσκηση ήταν δικής μου κατασκευής !


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες