Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Τρί Δεκ 03, 2013 6:25 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35

Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο:
-Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω 100 ευρώ.
Απαντά ο άλλος:
-Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω 100 ευρώ.
Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους;
Αν ο πρώτος που μοιλάει έχει \displaystyle{3y} και ο δεύτερος που μοιλάει έχει \displaystyle{2x} τότε όταν ο δεύτερος δώσει στον πρώτο χρήματα θα έχουμε:
\displaystyle{100=3y+x}
\displaystyle{3y=100-x} άρα αυτά είναι τα λεφτά του πρώτου
Άρα αν δώσει ο πρώτος λεφτά θα έχουμε
\displaystyle{100=2x+\frac{100-x}{3}}
\displaystyle{300=6x+100-x}
\displaystyle{5x=200}
\displaystyle{x=\frac{200}{5}}
\displaystyle{x=40}
Άρα: ο πρώτος θα έχει \displaystyle{80} ευρώ και ο δεύτερος \displaystyle{60} ευρώ.


gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Τρί Δεκ 03, 2013 7:35 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35

Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο:
-Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω 100 ευρώ.
Απαντά ο άλλος:
-Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω 100 ευρώ.
Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους;
Μετά από την λύση του Στέργιου, ας δούμε και μια ακόμα, χρησιμοποιόντας μια μόνο μεταβλητη

Αν ο ένας έχει \displaystyle{x} ευρώ, τότε ο άλλος θα έχει \displaystyle{100-\frac{x}{2}} ευρώ.

Με βάση το πρόβλημα, θα έχουμε: \displaystyle{x+\frac{1}{3}(100-\frac{x}{2})=100\Leftrightarrow 3x+100-\frac{x}{2}=300\Leftrightarrow}

\displaystyle{\frac{5x}{2}=200\Leftrightarrow x=80}

Άρα ο ένας έχει \displaystyle{80} ευρώ και ο άλλος \displaystyle{100-40=60} ευρώ.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4195
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Δεκ 03, 2013 7:54 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Δεκ 03, 2013 8:01 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 37

Να διαιρέσετε το 127 σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε αν το πρώτο μέρος αυξηθεί κατά 18, το δεύτερο μέρος ελαττωθεί κατά 5, το τρίτο μέρος πολλαπλασιαστεί με το 6 και το τέταρτο διαιρεθεί με 2,5 τότε να γίνονται όλα ίσα.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 03, 2013 9:14 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)
Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.


stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Τρί Δεκ 03, 2013 11:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)
Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.
Ο Νίκος είχε \displaystyle{10} κότες και κοκόρια και αφού οι κότες του Νίκου αντικαθιστούνται από τα κοκόρια του Γιάννη τότε θα έχουμε \displaystyle{10} κοκόρια


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 05, 2013 12:59 pm

stergios7 έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)
Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.
Ο Νίκος είχε \displaystyle{10} κότες και κοκόρια και αφού οι κότες του Νίκου αντικαθιστούνται από τα κοκόρια του Γιάννη τότε θα έχουμε \displaystyle{10} κοκόρια
:10sta10:


stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Πέμ Δεκ 05, 2013 4:09 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 37

Να διαιρέσετε το 127 σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε αν το πρώτο μέρος αυξηθεί κατά 18, το δεύτερο μέρος ελαττωθεί κατά 5, το τρίτο μέρος πολλαπλασιαστεί με το 6 και το τέταρτο διαιρεθεί με 2,5 τότε να γίνονται όλα ίσα.
Αν \displaystyle{x+y+v+t=127}
Τότε \displaystyle{x+18=y-5=6v=\frac{t}{2,5}=r}

Άρα \displaystyle{r-18+r+5+\frac{r}{6}+2,5r=127}

\displaystyle{4,5r+\frac{r}{6}-13=127}

\displaystyle{4,5r+\frac{r}{6}=140}

\displaystyle{28r=840}
\displaystyle{r=\frac{840}{28}}
\displaystyle{r=30}
Άρα:
\displaystyle{x=30-18=12}
\displaystyle{y=30+5=35}
\displaystyle{v=\frac{30}{6}=5}
\displaystyle{t=2,5.30=75}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 05, 2013 10:43 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 38

Ένας σκύλος κυνηγάει μία αλεπού, η οποία προηγείται κατά 50 πηδήματά της. Η αλεπού κάνει 4 πηδήματα, ενώ ο σκύλος στον ίδιο χρόνο κάνει 3 πηδήματα. Τα 2 πηδήματα όμως του σκύλου ισοδυναμούν σε μήκος με 3 πηδήματα της αλεπούς. Μετά από πόσα δικά του πηδήματα, ο σκύλος θα φτάσει την αλεπού;


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Πέμ Δεκ 05, 2013 11:41 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39

Αγόρασε κάποιος έναν ζωγραφικό πίνακα και μετά πλήρωσε άλλα τόσα για την κορνίζα. Αν η κορνίζα κόστιζε 15 ευρώ λιγότερο και και ο πίνακας 10 ευρώ περισσότερο τότε τότε η κορνίζα θα κόστιζε το μισό του πίνακα. Πόσο κόστιζε ο πίνακας;


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Κυρ Δεκ 08, 2013 7:57 pm

george visvikis έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 38

Ένας σκύλος κυνηγάει μία αλεπού, η οποία προηγείται κατά 50 πηδήματά της. Η αλεπού κάνει 4 πηδήματα, ενώ ο σκύλος στον ίδιο χρόνο κάνει 3 πηδήματα. Τα 2 πηδήματα όμως του σκύλου ισοδυναμούν σε μήκος με 3 πηδήματα της αλεπούς. Μετά από πόσα δικά του πηδήματα, ο σκύλος θα φτάσει την αλεπού;
Αφού τα \displaystyle{2} πηδήματα του σκύλου είναι ίσα με \displaystyle{3} της αλεπούς, τότε το \displaystyle{1} του σκύλου είναι ίσο με \displaystyle{1,5} της αλεπούς και άρα τα \displaystyle{3} του σκύλου είναι ίσα με \displaystyle{4,5} της αλεπούς. Άρα στο χρόνο που ο σκύλος κάνει \displaystyle{3} και η αλεπού \displaystyle{4} ο σκύλος της παίρνει μισό πήδημα άρα για να φτάσει τα \displaystyle{50} που είναι η διαφορά ο σκύλος θα κάνει \displaystyle{300} πηδήματα.


stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Κυρ Δεκ 08, 2013 9:14 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39

Αγόρασε κάποιος έναν ζωγραφικό πίνακα και μετά πλήρωσε άλλα τόσα για την κορνίζα. Αν η κορνίζα κόστιζε 15 ευρώ λιγότερο και και ο πίνακας 10 ευρώ περισσότερο τότε τότε η κορνίζα θα κόστιζε το μισό του πίνακα. Πόσο κόστιζε ο πίνακας;
Αν \displaystyle{x} η τιμή της κορνίζας και του πίνακα τότε:
\displaystyle{2.(x-15)=x+10}
\displaystyle{2x-30=x+10}
\displaystyle{2x-x=10+30}
\displaystyle{x=40} ευρώ κόστιζε ο πίνακας.


Άβαταρ μέλους
Ηλιας Φραγκάκος
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Παρ Σεπ 13, 2013 11:40 pm
Τοποθεσία: Χανιά Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλιας Φραγκάκος » Δευ Δεκ 30, 2013 12:06 am

KARKAR έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8

Ένας ποδηλάτης διανύει μιαν απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε 3 ώρες . Αν αυξήσει την ταχύτητά του κατά 3km/h,

θα κερδίσει μισή ώρα . Πόσο θα διαρκέσει η διαδρομή αν οδηγήσει με ταχύτητα κατά 3km/h μικρότερη της αρχικής ;
Ο ποδηλάτης σε 180 λεπτά της ώρας, τρέχοντας με ταχύτητα v, έτρεξε μια απόσταση s.
Ο ίδιος ποδηλάτης σε 150 λεπτά, με ταχύτητα αυτή τη φορά v+3 έτρεξε την ίδια απόσταση s.
Άρα: 180v=s και 150(v+3)
Αφού s=s πάει να πει ότι και 180v=150(v+3)=s
Δηλαδή: 180v=150v+450 και έτσι 180v-150v=450 Άρα: 30v=450 και v=15.
Με ταχύτητα 15 χιλιόμετρα ανά ώρα έτρεξε σε 180 λεπτά (τρεις, δηλαδή, ώρες) 45 χιλιόμετρα και με 18 χιλιόμετρα ανά ώρα χρειάστηκε 150 λεπτά. Με ταχύτητα 12 χλμ/ώρα θα χρειαστεί 225 λεπτά της ώρας.
Γεια σου Θοδωρή κι Ελπίδα.


" Ή ταν, ή τα παρατάν " Είπε ο Λεωνίδας με τα λίγα Περσικά του και ίδρυσε το σύλλογο προς διάδοση της Ελληνοτουρκικής Φιλίας με το διακριτικό τίτλο "Νικηταράς ο Τουρκοφάγος"
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τρί Δεκ 31, 2013 6:29 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1947
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Δεκ 31, 2013 8:04 pm

ΣΠΥΡΟΟΟΟ
το βρήκααααααα :santalogo:


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Ηλιας Φραγκάκος
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Παρ Σεπ 13, 2013 11:40 pm
Τοποθεσία: Χανιά Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλιας Φραγκάκος » Τετ Ιαν 01, 2014 3:30 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.
Εγώ αυτά τα προβλήματα τα λύνω πηγαίνοντας ανάποδα: Αφού του είχε μείνει ένα, τότε θα πρέπει να είχε (1+0,5)*2=3 αυγά. Εφαρμόζουμε το ίδιο κόλπο και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις: (3+0,5)*2=7 (7+0,5)*2=15
Άρα ο Χρήστος πήγε στη λαϊκή με 15 αυγά.
:plane: Καλή Χρονιά και υγεία σε όλους τους θεράποντες των Μαθηματικών.


" Ή ταν, ή τα παρατάν " Είπε ο Λεωνίδας με τα λίγα Περσικά του και ίδρυσε το σύλλογο προς διάδοση της Ελληνοτουρκικής Φιλίας με το διακριτικό τίτλο "Νικηταράς ο Τουρκοφάγος"
stergios7
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Οκτ 15, 2012 9:15 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stergios7 » Τετ Ιαν 01, 2014 6:23 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.
Με εξίσωση αν \displaystyle{x} τα αβγά βγαίνει ότι:
Την πρώτη μέρα του έμειναν: \displaystyle{x-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{x-1}{2}}

Την δεύτερη μέρα του έμειναν: \displaystyle{\frac{1}{2}.(\frac{x-1}{2})-\frac{1}{2}=\frac{x-3}{4}}

Την τρίτη μέρα του έμεινε \displaystyle{1} που είναι ίσο με: \displaystyle{\frac{1}{2}.(\frac{x-3}{4})-\frac{1}{2}=\frac{x-7}{8}}
Άρα \displaystyle{\frac{x-7}{8}=1}

\displaystyle{x-7=8}
\displaystyle{x=8+7}
\displaystyle{x=15}


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Ιούλ 19, 2014 2:24 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 41

Δύο αριθμοί έχουν λόγο \dfrac{5}{8}. Aν προσθέσουμε το 9 και στους δύο τότε ο λόγος τους γίνεται \dfrac{8}{11}. Bρείτε τους αριθμούς.

Παραμένουν αναπάντητα τα προβλήματα 10,12,21,22,23,24,41.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Ιούλ 20, 2014 4:30 pm

41

Αν ο ένας αριθμός είναι ο x ο άλλος θα είναι ο \frac{{5x}}{8}.
Επειδή \frac{8}{{11}} < 1 θα είναι \frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} = \frac{8}{{11}}, διότι \frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} < 1,\left( {\frac{{5x}}{8} < x} \right).

Έχουμε

\frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} = \frac{8}{{11}} ή

\frac{{\frac{{5x + 72}}{8}}}{{x + 9}} = \frac{8}{{11}} ή

\frac{{5x + 72}}{{8x + 72}} = \frac{8}{{11}} ή

\frac{{5x + 72}}{{\left( {8x + 72} \right) - \left( {5x + 72} \right)}} = \frac{8}{{11 - 8}} ή

\frac{{5x + 72}}{{3x}} = \frac{8}{3} ή

\frac{{5x + 72 - 3x}}{{3x}} = \frac{{8 - 3}}{3} ή

\frac{{2x + 72}}{{3x}} = \frac{5}{3} ή

6x + 216 = 15x ή

216 = 9x ή

\frac{{216}}{9} = x ή

x = 24


Άρα οι ζητούμενοι αριθμο΄θ είναι οι: x = 24 και \frac{{5x}}{8} = \frac{{5 \cdot 24}}{8} = 15.

Χρησιμοποίησα ιδιότητες αναλογιών (τμηματικά). Αν θυμάμαι καλά τα ανάλογα ποσά είναι στην α γυμνασίου και οι ιδιότητες στην γ (αν ισχύει κάτι τέτοιο να σβήσω αυτήν την λύση και να γράψω μια εντός φακέλου).


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 20, 2014 5:39 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Πολύ καλή η ιδέα του Παύλου!

Ένα "ρεαλιστικό πρόβλημα" της καθημερινής ζωής.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12

Ο Αντώνης αγοράζει 12 κουτιά αναψυκτικό στη λιανική τους τιμή. Στο ταμείο του καταστήματος όμως βλέπει μία διαφήμιση προσφοράς στο συγκεκριμένο αναψυκτικό, η οποία φαίνεται στο σχήμα. Με τα ίδια χρήματα αγοράζει 6 κουτιά επιπλέον. Ποια είναι η λιανική τιμή του αναψυκτικού;
Το συνημμένο 22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg
22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 2785 φορές
Έστω x η λιανική τιμή του αναψυκτικού. Τα 12 λοιπόν κουτιά στοιχίζουν 12x €.

Με τη νέα τιμή της προσφοράς αγοράζει 18 κουτιά πληρώνοντας \displaystyle{3 \cdot 1,8 = 5,4} € λιγότερα από την αρχική τιμή και δίνει όσα θα έδινε αγοράζοντας 12 κουτιά στη λιανική τιμή. Έχουμε λοιπόν την εξίσωση:

\displaystyle{18x - 5,4 = 12x \Leftrightarrow 6x = 5,4 \Leftrightarrow x = 0,9}


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης