Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

raf616

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20

Η ηλικία του Αναστάση είναι τριπλάσια της ηλικίας της Ευφροσύνης. Ο Μανώλης είναι δύο χρόνια μεγαλύτερος από τον Αναστάση. Όταν η Ευφροσύνη θα έχει τη σημερινή ηλικία του Μανώλη τότε και οι τρεις μαζί θα έχουν άθροισμα ηλικιών 60 έτη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες;

Ωραία προβληματάκια... Ας συνεχίσουμε με τα ίδια ονόματα(μου αρέσουν)

Έστω

η ηλικία της Ευφροσύνης. Τότε η ηλικία του Αναστάση θα είναι

και του Μανώλη 3x + 2

Όταν η ηλικία της Ευφροσύνης θα είναι 3x + 2

θα έχουν περάσει 3x + 2 - x = 2x + 2

χρόνια. Οι ηλικία του Αναστάση θα έχει γίνει 3x + 2x + 2 = 5x + 2

ενώ του Μανώλη 3x + 2 + 2x + 2 = 5x + 4

. Σύμφωνα με την υπόθεση σχηματίζουμε την εξίσωση:

$3x + 2 + 5x + 2 + 5x + 4 = 60 \Leftrightarrow 13x = 52 \Leftrightarrow x = 4$

Άρα, η Ευφροσύνη είναι

χρονών, ο Αναστάσης

και ο Μανώλης

.

vzf

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από

σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από 125

σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε

βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε

όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399

T-Rex

raf616 έγραψε:
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Ας συγκεντρώσουμε εδώ κάποια προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια εξίσωσης πρώτου βαθμού. Νομίζω πως θα είναι πολύ χρήσιμο για τους μικρότερους μαθητές που επισκέπτονται τη σελίδα μας. Ας κάνω την αρχή με ένα πρόβλημα με ηλικίες:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Η ηλικία μου είναι εντεκαπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Σε χρόνια η ηλικία μου θα γίνει πενταπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Ποια είναι η σημερινή ηλικία μου και ποια της κόρης μου;
Πολύ ωραία πρωτοβουλία, που θα βοηθήσει αρκετά μικρούς μαθητές... Εγώ θα προσπαθήσω να βοηθήσω όσο μπορώ...

Έστω η ηλικία της κόρης. Τότε η ηλικία του πατέρα θα είναι .

Σε χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι , ενώ της κόρης . Σχηματίζουμε την εξίσωση:

$11x + 6 = 5(x + 6) \Leftrightarrow 11x + 6 = 5x + 30 \Leftrightarrow 6x = 24 \Leftrightarrow x = 4$

Άρα, η ηλικία της κόρης είναι και του πατέρα .

Επειδή τώρα μαθαίνω τις εξισώσεις την άσκηση την έλυσα χωρίς εξίσωση
Σκέφτηκα αφού η ηλικία είναι πολλαπλάσιο του

θα είναι

και σε

χρόνια
θα είναι πολλαπλάσιο του

δηλαδή

και οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του

και αν προσθέσουμε

γίνονται πολλαπλάσια του

είναι το

και το

δηλαδή η κόρη είναι

και ο μπαμπάς

και η κόρη να είναι

και ο μπαμπάς

αλλά μόνο

και το 44 σε

χρόνια θα γίνουν

και

και το

είναι πενταπλάσιο του

Έξυπνη λύση, αλλά σκέφτομαι ότι πήρες ως δεδομένο ότι οι ηλικίες είναι ακέραιοι αριθμοί.Λογική σκέψη. Αν όμως είναι δεκαδικοί ή μεικτοί αριθμοί;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22
Ποια στιγμή, ανάμεσα στις εννέα και δέκα η ώρα, οι δείκτες ενός ρολογιού είναι μαζί;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23
Ποια στιγμή, ανάμεσα στη μία και τις δύο η ώρα, οι δείκτες ενός ρολογιού σχηματίζουν ευθεία γωνία;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24
Ποιες στιγμές, ανάμεσα στις δώδεκα και μία, οι δείκτες ενός ρολογιού σχηματίζουν ορθή γωνία;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 25
Nα βρεθεί ένας αριθμός του οποίου το διπλάσιο, όταν αυξηθεί κατά

γίνεται ίσο με το τριπλάσιό του ελαττωμένο κατά

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 26
Ένα γυμνάσιο έχει 350

μαθητές. Η α΄ τάξη έχει 20 μαθητές περισσότερους από τη β΄ και η γ΄ 12 μαθητές λιγότερους από τη β΄. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 27
Πόσα κιλά ψευδάργυρου πρέπει να συντήξουμε με 140

κιλά χαλκού ώστε να πάρουμε ένα κράμα που να περιέχει $44\%$ ψευδάργυρο και $56\%$ χαλκό;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 28
Το ψηφίο των δεκάδων ενός διψήφιου αριθμού είναι διπλάσιο από το ψηφίο των μονάδων του. Αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του, προκύπτει αριθμός κατά

μικρότερος. Ποιος είναι ο αριθμός;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 29
Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στους όρους του κλάσματος $\dfrac{5}{12}$ ώστε αυτό να γίνει ίσο με $\dfrac{4}{5};$

Νίκος Αϊνστάιν

Θα βάλω τις λύσεις των ασκήσεων 25-27 και τις υπόλοιπες θα τις αφήσω για κάποιο άλλο παιδί που ενδιαφέρεται:
Άσκηση 25:
Έστω

ο αριθμός.
Τότε, έχουμε την εξίσωση: $2x + 5 = 3x - 2 \Leftrightarrow -x = -7 \Leftrightarrow x = 7$

Άσκηση 26:
Έστω

ο αριθμός.
Τότε, έχουμε την εξίσωση $(y + 20) + y + (y - 12) = 350 \Leftrightarrow 3y + 8 = 350 \Leftrightarrow 3y = 342 \Leftrightarrow y = \frac{342}{3} = 114$
(Βάζω παρένθεση για να διαχωρίσω τον αριθμό των μαθητών κάθε τάξης.)

Άσκηση 27:
Έστω

ο αριθμός.
Τα ποσά Ψευδάργυρος - Χαλκός είναι ανάλογα. Άρα, έχουμε:
$\frac{44}{56} = \frac{z}{140} \Leftrightarrow 56z = 140 \cdot 44 = 6.160 \Leftrightarrow z = \frac{6.160}{56} = 110$

Παναγιώτης Χ.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 28
Στην αρχή ο διψήφιος αριθμός είναι $10 \cdot 2n + n = 20n + n = 21n$ . Αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του, θα γίνει 10n + 2n = 12n

. Αφού ο τελικός αριθμός είναι κατά

μικρότερος από τον αρχικό, θα είναι: $21n - 12n = 36 \Leftrightarrow 9n = 36 \Leftrightarrow n=4$ .
Οπότε ο τελικός αριθμός είναι $12 \cdot 4 = 48$

raf616

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ΠΡΟΒΛΗΜΑ 29
Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στους όρους του κλάσματος $\dfrac{5}{12}$ ώστε αυτό να γίνει ίσο με $\dfrac{4}{5};$

Αν

ο αριθμός, τότε σύμφωνα με την υπόθεση θα ισχύει:

$\dfrac{5 + x}{12 + x} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow 4(12 + x) = 5(5 + x) \Leftrightarrow -x = -23 \Leftrightarrow x = 23$

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 30

Ένα αυτοκίνητο φεύγει από την πόλη στις $\displaystyle{\,\,2\,\,}$ μ.μ , κινούμενο με σταθερή ταχύτητα . Ένα δεύτερο αυτοκίνητο , επίσης κινούμενο με σταθερή ταχύτητα φεύγει από την πόλη στις $\displaystyle{\,\,4\,\,\,}$ μ.μ. και ακολουθεί το πρώτο . Η ταχύτητα του δεύτερου είναι κατά $\displaystyle{\,20\,\,\,\,\,Km/h\,\,\,}$ πιο μεγάλη από του πρώτου . Εάν το δεύτερο αυτοκίνητο προσπεράσει το πρώτο στις $\displaystyle{\,10\,\,\,}$ μ.μ., ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων ;

Παναγιώτης Χ.

exdx έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 30

Ένα αυτοκίνητο φεύγει από την πόλη στις $\displaystyle{\,\,2\,\,}$ μ.μ , κινούμενο με σταθερή ταχύτητα . Ένα δεύτερο αυτοκίνητο , επίσης κινούμενο με σταθερή ταχύτητα φεύγει από την πόλη στις $\displaystyle{\,\,4\,\,\,}$ μ.μ. και ακολουθεί το πρώτο . Η ταχύτητα του δεύτερου είναι κατά $\displaystyle{\,20\,\,\,\,\,Km/h\,\,\,}$ πιο μεγάλη από του πρώτου . Εάν το δεύτερο αυτοκίνητο προσπεράσει το πρώτο στις $\displaystyle{\,10\,\,\,}$ μ.μ., ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων ;

Έστω

η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου. Άρα η ταχύτητα του δευτέρου είναι (x + 20)

. Το πρώτο αυτοκίνητο διένυσε την απόσταση σε

ώρες ενώ το δεύτερο διένυσε την ίδια απόσταση σε

ώρες. Οπότε έχουμε: $8 \cdot x = 6 \cdot (x + 20) \Leftrightarrow 8 \cdot x = 6 \cdot x + 120 \Leftrightarrow 2 \cdot x = 120 \Leftrightarrow x = 60 km/h$

ZITAVITA

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 31
Ένα τετράγωνο και ένα ισοσκελές τρίγωνο έχουν την ίδια πλευρά. Άν ηπερίμετρος του τετραγώνου είναι 4 μονάδες μεγαλύτερη από την περίμετρο του τριγώνου, τότε να βρεθούν η πλευρά, η περίμετροι και το εμβαδό του τετραγώνου.

Παναγιώτης Χ.

ZITAVITA έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 31
Ένα τετράγωνο και ένα ισοσκελές τρίγωνο έχουν την ίδια πλευρά. Αν η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 μονάδες μεγαλύτερη από την περίμετρο του τριγώνου, τότε να βρεθούν η πλευρά, η περίμετροι και το εμβαδό του τετραγώνου.

Έχουμε: $4x = 3x + 4 \Leftrightarrow 4x - 3x = 4 \Leftrightarrow x = 4$ όπου

η πλευρά. Άρα η περίμετρος του τετραγώνου είναι $4 \cdot 4 = 16$ , η περίμετρος του τριγώνου $3 \cdot 4 = 12$ και το εμβαδό του τετραγώνου 4^2 = 16

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 32

Για ένα τρίγωνο ABC

γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι διπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τις διχοτόμους BD,CE

του τριγώνου και ονομάζουμε

το σημείο τομής τους. Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BIC}=132^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 33

Για ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι τετραπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τα ύψη BD,CE

του τριγώνου που τέμνονται στο

Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BHC}=100^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC.

Θα ήταν ωραίο να είχαμε κι άλλα προβλήματα με αφορμή τη γεωμετρία. Καλούμε τους φίλους της γεωμετρίας να βοηθήσουν με τα ωραία τους προβλήματα.

stergios7

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 32

Για ένα τρίγωνο γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι διπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τις διχοτόμους του τριγώνου και ονομάζουμε το σημείο τομής τους. Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BIC}=132^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου

Αν ονομάσουμε: $\displaystyle{\hat{C}=x}$ και $\displaystyle{\hat{B}=2x}$
Τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{BIC}$ θα πάρουμε την εξίσωση (που προκύπτει με την βοήθεια των διχοτόμων):
$\displaystyle{132+x+\frac{x}{2}=180}$
$\displaystyle{x+\frac{x}{2}=180-132}$

$\displaystyle{x+\frac{x}{2}=48}$
$\displaystyle{2x+x=96}$
$\displaystyle{3x=96}$

$\displaystyle{x=\frac{96}{3}}$
$\displaystyle{x=32}$
Άρα:
$\displaystyle{\hat{C}=32^{o}}$
$\displaystyle{\hat{B}=64^{o}}$
$\displaystyle{\hat{A}=84^{o}}$

Πρόβλημα 34: Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ που έχει $\displaystyle{AB=10cm}$ και

$\displaystyle{BC=x cm}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της $\displaystyle{CD}$ και $\displaystyle{N}$ το μέσον της $\displaystyle{BC}$ .

(a) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ , σαν συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ .

(b) Να βρεθεί ο $\displaystyle{x}$ αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{45}{2} cm^{2}}$

(c) Για την τιμή του $\displaystyle{x}$ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$

stergios7

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 33

Για ένα οξυγώνιο τρίγωνο γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι τετραπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τα ύψη του τριγώνου που τέμνονται στο Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BHC}=100^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου

Θα ήταν ωραίο να είχαμε κι άλλα προβλήματα με αφορμή τη γεωμετρία. Καλούμε τους φίλους της γεωμετρίας να βοηθήσουν με τα ωραία τους προβλήματα.

$\displaystyle{\widehat{DHC}=\widehat{BHE}=80^{o}}$ ως παραπληρωματικές με την $\displaystyle{\widehat{CHB}}$
Αν ονομάσουμε $\displaystyle{\hat{C}=x}$ , $\displaystyle{\hat{B}=4x}$
Άρα τα τρίγωνα $\displaystyle{DHC}$ και $\displaystyle{EHB}$ αν ονομάσουμε $\displaystyle{\widehat{HCD}=v}$ και $\displaystyle{\widehat{HBE}=y}$
Τότε $\displaystyle{\hat{v}=\hat{y}=180-(90+80)=10^{o}}$
Άρα θα πάρουμε εξίσωση στο τρίγωνο $\displaystyle{CHB}$ :
$\displaystyle{x-10+4x-10+100=180}$
$\displaystyle{5x-20=180-100}$
$\displaystyle{5x=80+20}$
$\displaystyle{5x=100}$
$\displaystyle{x=20^{o}}$
Άρα:
$\displaystyle{\hat{C}=20^{o}}$
$\displaystyle{\hat{B}=80^{o}}$
$\displaystyle{\hat{A}=80^{o}}$
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

KARKAR

Οι μερακλήδες λύτες , "καθαρίζουν" τις μέχρι τώρα άλυτες : Είναι οι : 8,10,12,21,22,23,24

raf616

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πρόβλημα 34: Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ που έχει $\displaystyle{AB=10cm}$ και

$\displaystyle{BC=x cm}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της $\displaystyle{CD}$ και $\displaystyle{N}$ το μέσον της $\displaystyle{BC}$ .

(a) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ , σαν συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ .

(b) Να βρεθεί ο $\displaystyle{x}$ αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{45}{2} cm^{2}}$

(c) Για την τιμή του $\displaystyle{x}$ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$

Θα δώσω λύση χωρίς σχήμα το οποίο ίσως προσθέσω αργότερα...

(α) Το εμβαδόν όλου του ορθογωνίου είναι (ABCD) = 10x

. Τώρα:

$(ADM) = \dfrac{5x}{2}$

$(ABN) = \dfrac{10 \cdot \dfrac{x}{2}}{2} = \dfrac{5x}{2}$

$(MCN) = \dfrac{\dfrac{5x}{2}}{2} = \dfrac{5x}{4}$

Άρα:

$\displaystyle{(AMN) = (ABCD) - (ADM) - (ABN) - (MCN) = 10x - \dfrac{5x}{2} - \dfrac{5x}{2} - \dfrac{5x}{4} = \dfrac{15x}{4}}$

(β) Θα ισχύει:

$\dfrac{15x}{4} = \dfrac{45}{2} \Leftrightarrow 30x = 180 \Leftrightarrow x = 6cm$

(γ) Με Π.Θ στα $\overset{\triangle}{ADM}$ , $\overset{\triangle}{ABN}$ , $\overset{\triangle}{MCN}$ θα λάβουμε:

$AM = \sqrt{61}$

$AN = \sqrt{109}$

$MN = \sqrt{34}$

Επομένως, αν $\Pi$ η περίμετρος του τριγώνου θα ισχύει:

$\Pi = AM + AN + MN = \sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{34}$

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35

Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο:
-Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω 100

ευρώ.
Απαντά ο άλλος:
-Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω 100

ευρώ.
Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους;

Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Μέλη σε σύνδεση