Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 47

100.jpg (19.52 KiB) Προβλήθηκε 2997 φορές

Οι αριθμοί από το 1 έως το 9 τοποθετήθηκαν στα τετραγωνάκια του σχήματος ώστε το άθροισμα των τριών αριθμών σε κάθε μία από τις τέσσερις γραμμές να είναι το ίδιο.
α) Ποιος αριθμός μπήκε στο τετράγωνο με το αστεράκι;
β) Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η τοποθέτηση;

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους. Στο όμορφο πρόβλημα του Παύλου:

Έστω ότι στη θέση του αστερίσκου μπαίνει ο αριθμός , ένας από τους .
Τότε ανάμεσα από τα μπαίνει ο .

Αυτό μάς φτάνει, αν έχουμε όρεξη για δοκιμές. Δεν είναι και πολλές.
Όμως, δεν έχουμε όρεξη για δοκιμές. Οπότε συνεχίζουμε ως εξής:

Στην πρώτη πλάγια στήλη μπαίνουν δύο αριθμοί με άθροισμα και στην τελευταία δύο με άθροισμα .

Οπότε , που είναι το άθροισμα των διαθέσιμων αριθμών, άρα .

Οι δυνατές περιπτώσεις είναι οι εξής (με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά:





(δηλαδή οι δυνατές εναλλαγές ανά δύο των με τους ).

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Γιώργο, πολύ ωραία!
Μια παρόμοια προσέγγιση:

Ονομάζω το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής. Τότε οπότε και έτσι στο αστεράκι θα μπει αναγκαστικά το 8.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 48
Το παρακάτω τετράγωνο είναι μαγικό. Βρείτε τον άγνωστο αριθμό και συμπληρώστε το τετράγωνο.

200.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 2961 φορές

Μαγικό τετράγωνο σημαίνει ότι όλες οι γραμμές και όλες οι στήλες αλλά και οι δύο διαγώνιες βγάζουν το ίδιο άθροισμα.

[Ηρακλειτωρας]

ΓειΑ σας.προσπαθω να λύσω τα προβλήματα σας και βλέπω ότι δυσκολεύομαι αρκετά στην μαθηματικοποιηση των δεδομένων και γενικά στην κατανόηση λεκτικών προβλημάτων.μηπως έχετε να μου δώσετε μερικές συμβουλές ώστε να γίνω καλύτερος;Μήπως είμαι καταδικασμένος να μην μπορώ να λύνω τέτοιου είδους ασκήσεις;

[Γιώργος Ρίζος]

Απαντώντας στον μικρό μας φίλο θα του πρότεινα να εφαρμόσει αυτό που περιγράφει ο POLYA για την επίλυση προβλημάτων.
Πρώτα απ' όλα, ΞΕΚΙΝΑ με ένα απλούστερο πρόβλημα.

Όλες οι προτάσεις μπορούν να βρεθούν ΕΔΩ, στις σημειώσεις του πρόσφατα εκλιπόντα Νίκου Κλαουδάτου.



Πρόβλημα 49

Αγοράζουμε ένα παντελόνι και μία ζώνη. Το παντελόνι κοστίζει περισσότερο από τη ζώνη. Αγοράζουμε, κατόπιν, ένα σακκάκι, πιο ακριβό από όσο κόστισαν τα παραπάνω. Όλα μαζί κόστισαν . Πόσο κόστισε το καθένα;


Με εξισώσεις λύνεται πανεύκολα. Χάνεται, όμως, η ομορφιά της ανακάλυψης, η περιπέτεια της διαδικασίας λύσης. Προσπαθήστε να το λύσετε πρώτα δίχως χρήση μεταβλητών.

ΜΟΛΙΣ συμπληρωθούν 50 εκφωνήσεις θα τις συμμαζέψω σε ένα τεύχος, που πιστεύω ότι θα έχει χρηστική αξία στη διδασκαλία στην τάξη, ως ένα αντίδωρο στην πρωτοβουλία του Παύλου Μαραγκουδάκη.

[kostas.zig]

Νομίζω ότι ο Γιώργος εξηγεί γιατί είναι σημαντικό να λειτουργήσουμε έτσι...

Οπότε, πιστεύω, ότι μας προτρέπει να σκεφθούμε ως εξής:

"Ξεχνούμε" τα 40 ευρώ που κόστισε παραπάνω το σακάκι (280-40=240). Τότε το σακκάκι θα κόστιζε εξίσου με τα άλλα δύο αντικείμενα (παντελόνι + ζώνη). Οπότε 120 ευρώ κοστίζουν μαζί τα τελευταία δυο και 120 +40=160 ευρώ το σακκάκι.

Όμοια, "ξεχνούμε" (δεν ξέρω αν είναι καλύτερα να πούμε βάζουμε στην άκρη) τα 90 ευρώ που κοστίζει το παντελόνι από την ζώνη, οπότε 120-90=30 ευρώ θα ήταν εξίσου για ζώνη+παντελόνι. Οπότε η ζώνη 15 ευρώ και το παντελόνι 15+90=105 ευρώ!

Πράγματι:
Ζώνη 15 ευρώ
Παντελόνι 15+90=105 ευρώ
Σακκάκι 105+15+40=160 ευρώ

Σύνολο: 280 ευρώ

ΔΕΝ ΠΑΩ ΓΙΑ ΨΩΝΙΑ !!! (ίσως, Γιώργο, το πρόβλημα έπρεπε μια και στο θέμα των προβλημάτων, όπως και των ρεαλιστικών προβλημάτων κάνεις εξαιρετική δουλειά, να προσαρμοστεί με τα σημερινά οικονομικά δεδομένα...)

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Πρόβλημα 50
Ο καθηγητής μαθηματικών σε ένα γυμνάσιο της Κέρκυρας πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν το παρακάτω πρόβλημα:

Ένας κουβάς γεμάτος νερό ζυγίζει 21 κιλά. Αδειάζουμε ακριβώς το μισό νερό και μετά ζυγίζει 12 κιλά. Πόσο ζυγίζει ο άδειος κουβάς;


α) Ο Ηρακλής συμβόλισε με το βάρος του κουβά. Πώς μπορεί με τη βοήθεια του να εκφράσει
1. το βάρος του νερού, όταν ο κουβάς είναι γεμάτος
2. το βάρος του νερού όταν ο κουβάς είναι μισογεμάτος
3. το βάρος του κουβά και του νερού όταν ο κουβάς είναι μισογεμάτος
β) Λαμβάνοντας υπ΄όψιν τα παραπάνω φτιάξτε μια εξίσωση που να περιέχει το και απαντήστε στο πρόβλημα.
γ) Λύστε τώρα το πρόβλημα με πρακτική αριθμητική, αν δεν το έχετε ήδη κάνει

[Γιώργος Ρίζος]

Ονομάζω το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής. Τότε οπότε και έτσι στο αστεράκι θα μπει αναγκαστικά το 8.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 48
Το παρακάτω τετράγωνο είναι μαγικό. Βρείτε τον άγνωστο αριθμό και συμπληρώστε το τετράγωνο.

200.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

Μαγικό τετράγωνο σημαίνει ότι όλες οι γραμμές και όλες οι στήλες αλλά και οι δύο διαγώνιες βγάζουν το ίδιο άθροισμα.

Αφού έμεινε αναπάντητο, δίνω μια υπόδειξη για λύση με χρήση μεταβλητής: Το κεντρικό κουτάκι είναι το , οπότε θέτοντας διαδοχικά ίσα τα αθροίσματα γραμμών, στηλών και διαγωνίων βρίσκουμε ότι έχουν άθροισμα , άρα .

Αναρωτιέμαι, αν θα μπορούσαμε να το λύσουμε δίχως μεταβλητή.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Πρόβλημα 51

Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια;

[Panagiotis11]

Πρόβλημα 51

Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια;

Έστω ο αριθμός των κοριτσιών και των αγοριών


Aφαιρώντας το 2ο σύστημα από το 1ο έχουμε Άρα

[Γιώργος Ρίζος]

Πρόβλημα 50
Ο καθηγητής μαθηματικών σε ένα γυμνάσιο της Κέρκυρας πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν το παρακάτω πρόβλημα:

Ένας κουβάς γεμάτος νερό ζυγίζει 21 κιλά. Αδειάζουμε ακριβώς το μισό νερό και μετά ζυγίζει 12 κιλά. Πόσο ζυγίζει ο άδειος κουβάς;


α) Ο Ηρακλής συμβόλισε με το βάρος του κουβά. Πώς μπορεί με τη βοήθεια του να εκφράσει
1. το βάρος του νερού, όταν ο κουβάς είναι γεμάτος
2. το βάρος του νερού όταν ο κουβάς είναι μισογεμάτος
3. το βάρος του κουβά και του νερού όταν ο κουβάς είναι μισογεμάτος
β) Λαμβάνοντας υπ΄όψιν τα παραπάνω φτιάξτε μια εξίσωση που να περιέχει το και απαντήστε στο πρόβλημα.
γ) Λύστε τώρα το πρόβλημα με πρακτική αριθμητική, αν δεν το έχετε ήδη κάνει

γ) Δύο κουβάδες με μισό νερό ζυγίζουν κιλά, άρα τα τρία επιπλέον κιλά είναι το βάρος του κουβά.

[Γιώργος Ρίζος]

Πρόβλημα 51

Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια;

Μια ψευδοπρακτική λύση που (φαινομενικά) δεν χρησιμοποιεί μεταβλητές:


Οι αδερφές της Λουκίας είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της, οπότε τα κορίτσια της πολυπληθούς οικογένειας είναι όσα τα αγόρια συν τρία παραπάνω.

Τα αδέλφια του Γρηγόρη είναι το ένα τρίτο των κοριτσιών, άρα τα αγόρια της οικογένειας πλην ένα αγόρι (ο Γρηγόρης) είναι το ένα τρίτο των κοριτσιών, οπότε τρεις φορές τα αγόρια πλην τρία είναι όσα τα κορίτσια.

Δηλαδή τα αγόρια συν τρία είναι ίσα με τρεις φορές τα αγόρια πλην τρία, άρα τα αγόρια είναι τρία, οπότε τα κορίτσια είναι έξι.

Όμως επιλύουμε εξίσωση, απλά τη γράφουμε με λόγια, αντί για τον συνήθη μαθηματικό συμβολισμό:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω τα αγόρια, οπότε τα κορίτσια είναι .

Οπότε σχηματίζεται η εξίσωση που έχει λύση: .

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Πρόβλημα 52

Πέντε πανομοιότυπα ορθογώνια οικόπεδα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Βρείτε το συνολικό εμβαδόν τους.

5 ορθογώνια.jpg (7.73 KiB) Προβλήθηκε 2777 φορές

[Μιχάλης Νάννος]

Πρόβλημα 52

Πέντε πανομοιότυπα ορθογώνια οικόπεδα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Βρείτε το συνολικό εμβαδόν τους.

Καλημέρα Παύλο!

52.png (4.3 KiB) Προβλήθηκε 2771 φορές

Θέτω με τις διαστάσεις του μικρού ορθογωνίου και θα έχω:

,

οπότε το συνολικό εμβαδόν τους θα είναι στρέμματα.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη, και μια πρακτική λύση.

Έστω το μήκος του μικρού ορθογωνίου, οπότε πλάτος του είναι .

Άρα , οπότε


2η ΛΥΣΗ

15-10-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg (23.93 KiB) Προβλήθηκε 2751 φορές

Αφού τρία πλάτη είναι ίσα με δύο μήκη σε κάθε μικρό ορθογώνιο, αν βάλουμε τρία ίσα σχήματα διαδοχικά, το νέο οικόπεδο έχει νέο μήκος όσο πέντε μήκη του αρχικού. Οπότε το μήκος του μικρού ορθογωνίου είναι και το πλάτος του τα δύο τρίτα του , δηλαδή .

Άρα το ολικό εμβαδό είναι .

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Πρόβλημα 53

Να βρεθεί η γωνία στο παρακάτω σχήμα.

Γωνίες.png (28.57 KiB) Προβλήθηκε 2734 φορές

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 53

Να βρεθεί η γωνία στο παρακάτω σχήμα.

Γεια σας κύριε Παύλο και χρόνια πολλά!

Είναι:







Άρα



Επομένως









Από εκεί και πέρα εύκολα και καταλήγουμε στο

Δεν το γράφω γιατί βιάζομαι λόγω μαθήματος σκάκι!

[Γιώργος Ρίζος]

Γεια σας κύριε Παύλο και χρόνια πολλά!

Είναι:







Άρα



Επομένως









Από εκεί και πέρα εύκολα και καταλήγουμε στο

Δεν το γράφω γιατί βιάζομαι λόγω μαθήματος σκάκι!

Καλησπέρα σε όλους. Νομίζω ότι οι δύο πρώτες γραμμές και το αποτέλεσμα θέλουν μικροδιορθώσεις.

Η τεχνική στις ασκήσεις που θέλουν "κυνήγι γωνιών" είναι να σημειώνουμε πάνω στο σχήμα τις γωνίες με κατάλληλες μεταβλητές.

Π.χ. εδώ θα πρότεινα το εξής:

05-01-2018 Γεωμετρία.jpg (25.69 KiB) Προβλήθηκε 2433 φορές

Από το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων έχουμε

Λύνοντας το σύστημα, έχουμε , οπότε .

(Μετά τις διορθώσεις, εννοείται, θα διαγράψω τα παραπάνω).

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Γεια σας κύριε Παύλο και χρόνια πολλά!

Είναι:







Άρα



Επομένως









Από εκεί και πέρα εύκολα και καταλήγουμε στο

Δεν το γράφω γιατί βιάζομαι λόγω μαθήματος σκάκι!

Καλησπέρα σε όλους. Νομίζω ότι οι δύο πρώτες γραμμές και το αποτέλεσμα θέλουν μικροδιορθώσεις.

Η τεχνική στις ασκήσεις που θέλουν "κυνήγι γωνιών" είναι να σημειώνουμε πάνω στο σχήμα τις γωνίες με κατάλληλες μεταβλητές.

Π.χ. εδώ θα πρότεινα το εξής:

05-01-2018 Γεωμετρία.jpg

Από το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων έχουμε

Λύνοντας το σύστημα, έχουμε , οπότε .

(Μετά τις διορθώσεις, εννοείται, θα διαγράψω τα παραπάνω).

Κύριε Γιώργο Χρόνια πολλά!

Τα έκανα λίγο σαλάτα όπως μπορείτε να δείτε! Δεν έχω γράψει στο Latex εδώ και καιρό και οι σχέσεις γράφτηκαν όπω να'ναι! Ξεχάστε αυτή τη λύση και πάρτε υπόψην σας αυτή που θα βάλω σε λίγο!

[loukasmos]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399

Έστω ο αριθμός των σκαλοπατιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα σταματούσε .
Αρχικά την κατέβηκε με 50 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα κάτω ''χάνονται'' σκαλοπάτια .
Στη συνέχεια την ανέβηκε με 125 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα πάνω ''χάνονται'' σκαλοπάτια .
Δεδομένου ότι η σκάλα ανεβοκατεβαίνει με την ίδια ταχύτητα και ότι σε κάθε βήμα προς τα κάτω αντιστοιχούν 5 βήματα προς τα επάνω τότε θα ισχύει :





σκαλοπάτια .

Θα ήθελα να πω πως η άνω λύση μας έχει οδηγήσει σε άτοπο, καθώς αν η σκάλα είναι 200 σκαλοπατιών τότε πως ανεβαίνει σε αυτήν κάποιος ανάποδα μετρώντας 125 σκαλοπάτια:


: η σκάλα σε στάση
: ο χρόνος για ένα βήμα στην κάθοδο
: ο χρόνος καθόδου
: ο χρόνος ανόδου

Uανθρ.κάτω =

Uανθρ.άνω =

5Uανθρ.κάτω=Uανθρ.άνω





(1)

(2)

(3)

(2) + (3) =>

(1) =>

(4)


(3) + (4) =>