Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

dimitris vol
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 11:14 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris vol » Σάβ Απρ 07, 2018 12:14 pm

loukasmos έγραψε:
Σάβ Απρ 07, 2018 10:03 am
ji2mada2006 έγραψε:
Σάβ Αύγ 16, 2014 3:25 pm
vzf έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από 50 σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από 125 σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε 5 βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε 1 όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399
Έστω ο αριθμός των σκαλοπατιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα σταματούσε .
Αρχικά την κατέβηκε με 50 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-50 σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα κάτω ''χάνονται'' \frac{x-50}{50} σκαλοπάτια .
Στη συνέχεια την ανέβηκε με 125 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-125 σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα πάνω ''χάνονται'' \frac{x-125}{125} σκαλοπάτια .
Δεδομένου ότι η σκάλα ανεβοκατεβαίνει με την ίδια ταχύτητα και ότι σε κάθε βήμα προς τα κάτω αντιστοιχούν 5 βήματα προς τα επάνω τότε θα ισχύει :
\frac{x-50}{50}=5\frac{x-125}{125}
\frac{x-50}{50}=\frac{x-125}{25}
50\frac{x-50}{50}=50\frac{x-125}{25}
x-50=2(x-125)
x-50=2x-250
x=200 σκαλοπάτια .
Θα ήθελα να πω πως η άνω λύση μας έχει οδηγήσει σε άτοπο, καθώς αν η σκάλα είναι 200 σκαλοπατιών τότε πως ανεβαίνει σε αυτήν κάποιος ανάποδα μετρώντας 125 σκαλοπάτια:


x : η σκάλα σε στάση
t _{b} : ο χρόνος για ένα βήμα στην κάθοδο
t _{1} : ο χρόνος καθόδου
t _{2} : ο χρόνος ανόδου

Uανθρ.κάτω = \frac{1}{t_{b}}

Uανθρ.άνω = \frac{5}{t_{b}}

5Uανθρ.κάτω=Uανθρ.άνω

5\cdot \frac{50}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}

 \frac{250}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}

t_{1}=2\cdot t_{2} (1)

x= Uskalas\cdot t_{1}+50 (2)

x= 125 - Uskalas\cdot t_{2} (3)

(2) + (3) =>Uskalas\cdot t_{1}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}

(1) =>Uskalas\cdot 2t_{2}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}
Uskalas\cdot 3t_{2} = 75
Uskalas\cdot t_{2} = 25 (4)


(3) + (4) => x=125-25
x=100

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ
εστω u_{s} η ταχυτητα της σκαλας.

ΚΑΘΟΔΟΣ : εστω η ταχυτητα ανθρωπου u_{1}
και t ο χρονος για καθε σκαλι που διανυει .
Τότε αν x το μηκος της σκάλας :
x=\left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t (1)
ΑΝΟΔΟΣ :
εστω u_{2} η ταχυτητα του ανθρωπου στην ανοδο
Προφανως αυτη ειναι τωρα πενταπλασια . Αρα u_{2}=5u_{1}
Τοτε ο χρονος για κάθε σκαλι θα ειναι : \frac{1}{5}\cdot t
Τότε για το μηκος x της σκάλας :
x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 125\cdot \frac{1}{5}\cdot t

x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 25\cdot t (2)

Απο (1) και (2) \left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t=\left ( u_{2}-u_{s} \right )25\cdot t
2\cdot u_{1}+2u_{s}=u_{2}-u_{s}
2u_{1}+2u_{s}=5u_{1}-u_{s}
u_{1}=u_{s}

Τοτε η (1) γινεται x=2u_{1}\cdot 50t
x=100\cdot u_{1}\cdot t (3)

Ομως το μηκος του ενος σκαλιου ειναι u_{s}\cdot t=u_{1}\cdot t
Από την (3) εχουμε : χ = 100 σκαλιά .


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης