Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#241

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Απρ 15, 2017 12:15 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η

Έστω ένας διψήφιος αριθμός. Αν αντιστρέψουμε τα ψηφία και τους προσθέσουμε ή τους αφαιρέσουμε τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι τέλεια τετράγωνα. Ποιος είναι ο διψήφιος αυτός αριθμός;
O \overline{a\beta} αν αντιστραφεί, θα γίνει \overline{\beta a}. Άρα \beta-a=x^{2} καιa+\beta=y^{2}.

Θα πρέπει \beta \geq a.

\cdot Για a=\beta, πρέπει a-\beta=0. Άρα, επειδή το 4 είναι το μοναδικό μονοψήφιο άρτιο τέλειο τετράγωνο, για να ισχύει a+\beta=y^{2}, έχω: \boxed{(a,b)=(2,2)}

\cdot Για a>\beta, πρέπει \beta-a>0 αλλά \beta-a \leq 8. Άρα πρέπει \beta-a=1 ή \beta-a=4.

Αν \beta-a=1,(με περιπτώσεις πολλές-δε χρειάζεται να τις αναφέρω) \boxed{(a, \beta)=(4,5)}

Αν \beta-a=4,(το ίδιο) δεν έχουμε δυνατές περιπτώσεις.

Άρα \boxed{\overline{a\beta}=45}, \boxed{\overline{a\beta}=22}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#242

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Μάιος 02, 2017 8:57 pm

sidchris έγραψε: Άσκηση 21η
Στο παραπάνω σχήμα η περίμετρος του \displaystyle{AE\Delta} είναι 12.Να βρεθεί η περίμετρος του \displaystyle{\Delta B \Gamma E}
Επειδή η περίμετρος του \displaystyle{AE\Delta} είναι 12, \Delta E=5. Αφού ισχύει \Delta E^2=A\Delta^2+AE^2, έχω ότι \hat A=90^o.

Κάνω Π.Θ. στο τρίγωνο AB\Gamma:

A\Gamma^2=B\Gamma^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144, οπότε A\Gamma=12

Άρα E\Gamma=9 και η περίμετρος του \Delta B \Gamma E είναι: \boxed{\Delta E+\Delta B+B \Gamma+\Gamma E=5+1+13+9=28}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#243

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Μάιος 02, 2017 9:09 pm

sidchris έγραψε:Ασκηση 11η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } με \displaystyle{AB = {\rm A}\Gamma  = 8} και \displaystyle{\Delta \Gamma  = 1.}.Αν \mathrm{B\Delta } είναι ύψος ,να βρεθεί η περίμετρος του \displaystyle{AB\Gamma }
Κύριε Χρήστο, καλό μήνα!

Αν A \Gamma=8, \Delta \Gamma=1 έχω A \Delta=7

Κάνω Π.Θ. στο AB\Delta:

AB^{2}=A\Delta^{2}+\Delta B^{2} \Rightarrow \Delta B=\sqrt{15}

Κάνω Π.Θ. στο \Delta B \Gamma:

B \Gamma^{2}=\Delta \Gamma^{2}+B \Delta^{2} \Rightarrow B \Gamma^{2}=16 \Rightarrow \boxed{B \Gamma=4}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#244

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 1:55 pm

sidchris έγραψε:Ασκηση 12η

Δίνεται το τραπέζιο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} με \displaystyle{A\Delta =4} και \displaystyle{B\Gamma  =5}.Αν η περίμετρος του \displaystyle{AB\Gamma\Delta} ειναι 22 να βρεθεί
α)το εμβαδό του τραπεζίου
β)Να δειχθεί ότι η \displaystyle{B\Delta} είναι διχοτόμος της γωνίας \hat{B}
(a) ΕAB \Gamma \Delta=\dfrac{(\beta+B)\cdot \upsilon}{2}=26
(\beta) Φέρνω ύψος \Gamma E. Άρα, A\Delta ||=\Gamma E=4. Κάνω Π.Θ. στο \Gamma EB:

\Gamma E^{2}=BE^{2}+B \Gamma^{2} \Rightarrow BE=3. Άρα, έχω:

A \Gamma=\dfrac{22-A \Delta-\Gamma B-BE}{2}=5. Επομένως, το τρίγωνο B \Delta \Gamma ισοσκελές. Ως εντός εναλλάξ, \hat{B \Delta \Gamma}=\hat{\Gamma \Delta B} οπότε \displaystyle{B\Delta} διχοτόμος της \hat{B}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#245

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 2:34 pm

Θα βάλω μια λύση ενός θέματος εδώ .
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τετ Αύγ 16, 2017 4:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#246

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 3:29 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 100η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η περίμετρος του AZBDC αν \widehat{ACB}=90^\circ , AZ=2\sqrt2 και CD=BD

Αφού AZ=ZB=2\sqrt2 , από Πυθαγόρειο Θεώρημα , AB=4 . Αφού sin\widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2} , κάνω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο \overset{\triangle}{ABC} :

AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\Rightarrow 3BC^{2}=16\Rightarrow AC=2BC=\dfrac{8}{\sqrt{3}} . Αφού \overset{\triangle}{BDC} ισόπλευρο , BC=CD=BD=\dfrac{4}{\sqrt3} .

Συνεπώς , η περίμετρος του AZBDC είναι :

4\sqrt2+\dfrac{16}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt24}{\sqrt3}+\dfrac{16}{\sqrt3}=\boxed{\dfrac{4(\sqrt24+4)}{\sqrt3}}
Συλλογή Ασκήσεων.png
Συλλογή Ασκήσεων.png (20.9 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#247

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 04, 2017 3:45 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 99η
Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο AB\Gamma είναι ισοσκελές με βάση B\Gamma. Να βρεθεί το εμβαδο του AB\Gamma
Αφού AB\Gamma ισοσκελές , \widehat{\Gamma}=30^{\circ}, \widehat{A}=120^{\circ} . Επίσης , αφού AB\Delta ισοσκελές με \widehat{BA\Delta}=30^{\circ} , \Delta A\Gamma=90^{\circ} . Οπότε , \eta \mu \Gamma=\dfrac{A\Delta}{\Delta                                                 \Gamma}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8} . Άρα , με Π.Θ. στο A\Delta \Gamma , A\Gamma=AB=\sqrt{48} . Φέρνω την AE , μεσοκάθετο της B\Gamma . Έχω BE=\Gamma E=6 . Με Π.Θ. στο AEB έχω ότι AE=\sqrt{12} . Συνεπώς , το εμβαδόν του AB\Gamma είναι :

\dfrac{\beta\cdot\upsilon}{2}=\dfrac{12\cdot\sqrt{12}}{2} \Rightarrow \boxed{(AB\Gamma)=12\sqrt{3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες