Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#201

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 07, 2013 10:06 am

sidchris έγραψε:Άσκηση 117η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\parallel \Gamma \Delta } και \displaystyle{{\rm E}{\rm B} = {\rm E}\Gamma }. Αν \displaystyle{{\rm Z}} μέσο του \displaystyle{{\rm B}\Gamma } να βρεθεί η \displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}.
Χριστός Ανέστη.
Άσκηση-117η.png
Άσκηση-117η.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 1860 φορές
1η λύση: Από αντίστροφο Πυθαγορείου στο \triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm E} προκύπτει (λόγω της παραλληλίας των {\rm A}{\rm B},\,\Delta \Gamma) το ορθογώνιο \triangleleft \Delta \Gamma {\rm E}, άρα από Π.Θ. \Delta \Gamma  = 7. Από Π.Θ. στο ορθογώνιο \triangleleft {\rm K}\Gamma {\rm B}:\,{\rm B}\Gamma  = 20\sqrt 5, συνεπώς {\rm Z}\Gamma  = 10\sqrt 5. Από Π.Θ. στο ορθογώνιο \triangleleft {\rm E}{\rm Z}\Gamma (η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος) x = {\rm E}{\rm Z} = 5\sqrt 5.

2η λύση: Το {\rm A}\Delta \Gamma {\rm B} είναι δισορθογώνιο τραπέζιο με ({\rm A}\Delta \Gamma {\rm B}) = \displaystyle\frac{{44(7 + 15)}}{2} = 484. Είναι ({\rm A}{\rm B}{\rm E}) = \displaystyle\frac{{15 \cdot 20}}{2} = 150, (\Delta \Gamma {\rm E}) = \displaystyle\frac{{7 \cdot 24}}{2} = 84, άρα ({\rm E}{\rm B}\Gamma ) = 250. Υπολογίζουμε με Π.Θ. τη {\rm B}\Gamma  = 20\sqrt 5, συνεπώς x = {\rm E}{\rm Z} = \displaystyle\frac{{2({\rm E}{\rm B}\Gamma )}}{{{\rm B}\Gamma }} = 5\sqrt 5.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#202

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Παρ Μάιος 10, 2013 1:04 pm

Άσκηση 119η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha ,\beta ,{\rm B}\Gamma }
Συνημμένα
Ασκηση 13η.png
Ασκηση 13η.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 1803 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#203

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Παρ Μάιος 10, 2013 1:26 pm

Άσκηση 120η
Στο παρακάτω σχήμα το \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } είναι ορθογώνιο και \displaystyle{{\rm A}{\rm E} = {\rm E}\Delta }.Να βρεθει το \displaystyle{{\rm E}\Gamma }
Συνημμένα
Ασκηση 14η.png
Ασκηση 14η.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 1796 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#204

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Παρ Μάιος 10, 2013 3:28 pm

Άσκηση 121η
Στο παρακάτω σχήμα το \displaystyle{\Delta } ειναι μεσο \displaystyle{{\rm A}{\rm Z}} και \displaystyle{({\rm A}\Gamma \Delta {\rm E}) = 204}.Να βρεθεί το \displaystyle{{\rm H}{\rm E}},\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}
Συνημμένα
Ασκηση 16η.png
Ασκηση 16η.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 1778 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#205

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Δευ Μάιος 20, 2013 12:47 pm

Άσκηση 122η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται οτι \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = \sqrt 3 ,{\rm B}\Gamma  = \sqrt 7 } και το τόξο \displaystyle{{\rm B}\Gamma } ειναι { 60^\circ } .Να βρεθεί το μήκος του \displaystyle{\Gamma \Delta }
Συνημμένα
Ασκηση 100η.png
Ασκηση 100η.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 1726 φορές
τελευταία επεξεργασία από sidchris σε Δευ Μάιος 20, 2013 12:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#206

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Δευ Μάιος 20, 2013 12:54 pm

Άσκηση 123η
Στο παρακάτω σχήμα να δειχθεί ότι \displaystyle{\varepsilon \varphi \hat {\rm A},\varepsilon \varphi \hat {\rm B}} είναι αντίστροφοι αριθμοί
Συνημμένα
Ασκηση 101η.png
Ασκηση 101η.png (21.11 KiB) Προβλήθηκε 1716 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#207

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Δευ Μάιος 20, 2013 1:04 pm

Άσκηση 124η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι οι γωνίες \displaystyle{\hat \Gamma ,\hat \Delta } είναι συμπληρωματικές , το \displaystyle{\varepsilon \varphi \hat \Gamma  = \frac{4}{3}} και \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 18} .Να βρεθεί το μήκος του \displaystyle{{\rm A}{\rm B}}
Συνημμένα
Ασκηση 102η.png
Ασκηση 102η.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 1703 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#208

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Δευ Μάιος 20, 2013 1:21 pm

Άσκηση 125η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι \displaystyle{\eta \mu \hat \Gamma  = \frac{3}{5}} και \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm O}) = 22} .Να βρεθεί το μήκος του \displaystyle{{\rm A}{\rm B}}
Συνημμένα
Ασκηση 103η.png
Ασκηση 103η.png (20.72 KiB) Προβλήθηκε 1696 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#209

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Δευ Μάιος 20, 2013 1:30 pm

Άσκηση 126η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι \displaystyle{{\rm B}\Gamma  = 4\sqrt 2 },το τόξο \displaystyle{{\rm B}\Gamma } είναι \displaystyle{90^\circ } και \displaystyle{{\rm B}\Delta  = 4\sqrt 3 } .Να βρεθεί το μήκος του \displaystyle{{\rm A}{\rm E}}
Συνημμένα
Ασκηση 104η.png
Ασκηση 104η.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 1688 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#210

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Κυρ Μάιος 26, 2013 7:21 pm

Άσκηση 127η
Δίνεται τετράπλευρο \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } με γωνίες \displaystyle{\hat {\rm A} = 3x + 15,\hat {\rm B} = 2x + 45,\hat \Gamma  = 10x - 15,\hat \Delta  = 6x}.Αν \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 10} και \displaystyle{{\rm A}\Delta  = 5 + 3\sqrt 3 } να βρεθεί η \displaystyle{\Gamma \Delta }


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#211

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Κυρ Μάιος 26, 2013 9:44 pm

Άσκηση 128η
Στο παρακάτω τραπέζιο δίνεται ότι \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 8,{\rm A}\Delta  = 2\sqrt 3 ,\Delta \Gamma  = 2}.Να βρεθεί η γωνία \displaystyle{{\rm A}\hat \Gamma {\rm B}}
Συνημμένα
1.png
1.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 1638 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#212

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Κυρ Μάιος 26, 2013 10:25 pm

Άσκηση 129η
Στο παρακάτω τετράγωνο να δειχθεί ότι το τρίγωνο \displaystyle{{\rm E}{\rm Z}{\rm H}} είναι ορθογώνιο
Συνημμένα
2.png
2.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 1629 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#213

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Δευ Μάιος 27, 2013 11:36 am

sidchris έγραψε:Άσκηση 128η
Στο παρακάτω τραπέζιο δίνεται ότι \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 8,{\rm A}\Delta  = 2\sqrt 3 ,\Delta \Gamma  = 2}.Να βρεθεί η γωνία \displaystyle{{\rm A}\hat \Gamma {\rm B}}
Φέρνουμε τα τμήματα A\Gamma και \Gamma E όπως φαίνονται στο σχήμα.
Εξετάζουμε αν το \bigtriangleup A \Gamma B είναι ορθογώνιο. Με Π.Θ στο \bigtriangleup A \Delta \Gamma έχουμε:
y^{2} = 2^{2} + (2\sqrt{3})^{2} \Leftrightarrow y^{2} = 16 \Leftrightarrow y = 4

Επίσης με Π.Θ στο \bigtriangleup A \Gamma \Delta έχουμε:
x^{2} = (2\sqrt{3})^{2}  + 6^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 48 \Leftrightarrow x = \sqrt{48}.

Ισχύει το αμτίστροφο του Π.Θ και άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλ
x^{2} + y^{2} = 48 + 16 = 64 και (AB)^{2} = 64.

Άρα, η A \hat{\Gamma}B είναι 90^{o}.
Συνημμένα
sohfeheg.png
sohfeheg.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 1585 φορές


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#214

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 02, 2013 1:17 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 125η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι \displaystyle{\eta \mu \hat \Gamma  = \frac{3}{5}} και \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm O}) = 22} .Να βρεθεί το μήκος του \displaystyle{{\rm A}{\rm B}}
ΑΣΚΗΣΗ 125.PNG
ΑΣΚΗΣΗ 125.PNG (15.72 KiB) Προβλήθηκε 1550 φορές
Έστω \displaystyle{{\rm O}{\rm E} \bot {\rm B}\Gamma }. Τότε στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{{\rm O}{\rm B}\Gamma } είναι \displaystyle{{\rm E}\Gamma  = 4}. Από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{{\rm O}{\rm E}\Gamma  \Rightarrow \eta \mu \,\Gamma  = \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{R} \Rightarrow \frac{9}{{25}} = \frac{{{\rm O}{{\rm E}^2}}}{{{R^2}}}\,\,\,\left( 1 \right)}. Από το ίδιο τρίγωνο

έχουμε \displaystyle{{\rm O}{{\rm E}^2} = {R^2} - 16} και η σχέση \left( 1 \right) δίνει \displaystyle{R = 5}, οπότε \displaystyle{{\rm O}{\rm E} = 3} και \left( {{\rm O}{\rm B}\Gamma } \right) = 12. Είναι, τότε, \displaystyle{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} \right) = 10 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot {\rm B}{\rm Z} = 10 \Rightarrow {\rm B}{\rm Z} = 4} και από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{{\rm O}{\rm B}{\rm Z} \Rightarrow {\rm O}{\rm Z} = 3 \Rightarrow {\rm A}{\rm Z} = 2 \Rightarrow {\rm A}{\rm B} = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 }.


sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#215

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Τρί Ιουν 04, 2013 11:48 am

Άσκηση 130η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat {\rm{B}} = \frac{4}{5}} και οτι \displaystyle{{\rm A}{\rm E}} είναι εφαπτομένη στο ημικύκλιο. Να βρεθεί \displaystyle{E \Gamma }
Συνημμένα
1.png
1.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 1512 φορές
τελευταία επεξεργασία από sidchris σε Τρί Ιουν 04, 2013 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δεμιρτζογλου Χρηστος
sidchris
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:16 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#216

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sidchris » Τρί Ιουν 04, 2013 11:59 am

Άσκηση 131η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 66} και \displaystyle{\varepsilon \varphi {\rm A}\hat {\rm B}{\rm Z} = \frac{1}{3}}. Να δειχθεί οτι το \displaystyle{{\rm B}{\rm Z}{\rm E}} είναι ορθογώνιο
Συνημμένα
2.png
2.png (18.34 KiB) Προβλήθηκε 1510 φορές


Δεμιρτζογλου Χρηστος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#217

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Ιουν 04, 2013 3:17 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 131η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 66} και \displaystyle{\varepsilon \varphi {\rm A}\hat {\rm B}{\rm Z} = \frac{1}{3}}. Να δειχθεί οτι το \displaystyle{{\rm B}{\rm Z}{\rm E}} είναι ορθογώνιο
Αφού το εμβαδόν είναι \displaystyle{66} έχουμε : \displaystyle{AB\cdot B\Gamma=66} άρα \displaystyle{AB=6=\Gamma \Delta} και \displaystyle{\Delta E=E\Gamma=3}.

Στο τρίγωνο \displaystyle{ABZ} έχουμε : \displaystyle{\epsilon \phi \widehat{ABZ}=\frac{AZ}{AB}} ή \displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{AZ}{6}} άρα \displaystyle{AZ=2} και \displaystyle{\Delta Z=11-2=9}.

Aπό το Πυθαγόρειο στα τρίγωνα \displaystyle{AZB,\Delta E Z, E\Gamma B} έχουμε :

\displaystyle{x=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90},~y=\sqrt{11^2+3^2}=\sqrt{130},~w=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}}. Παρατηρούμε ότι ισχύει :

\displaystyle{y^2=x^2+z^2} άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου στο \displaystyle{EZB}, έχουμε ότι : \displaystyle{\widehat{EZB}=90^o}
Συνημμένα
ask131.jpg
ask131.jpg (5.92 KiB) Προβλήθηκε 1457 φορές


Γιώργος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#218

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Ιουν 04, 2013 8:56 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 130η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat {\rm{B}} = \frac{4}{5}} και οτι \displaystyle{{\rm A}{\rm E}} είναι εφαπτομένη στο ημικύκλιο. Να βρεθεί \displaystyle{E \Gamma }
ΑΣΚΗΣΗ 130.PNG
ΑΣΚΗΣΗ 130.PNG (11.29 KiB) Προβλήθηκε 1419 φορές
Από την τοποθέτηση του \displaystyle{8} στο σχήμα, υποθέτω ότι \displaystyle{{\rm B}\Gamma  = 8}, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma  \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{8}{{{\rm A}{\rm B}}} \Rightarrow {\rm A}{\rm B} = 10 \Rightarrow {\rm A}\Gamma  = 6 \Rightarrow \eta \mu {\rm B} = \frac{3}{5}}.

Από τις υποθέσεις είναι \displaystyle{\widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } = \widehat {\rm B}} (συμπληρωματικές της \displaystyle{\widehat {\Gamma {\rm A}{\rm B}}}). Έστω \displaystyle{{\rm E}{\rm Z} \bot {\rm A}\Gamma }, τότε αν \displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = x \Rightarrow {\rm E}\Delta  = {\rm Z}\Gamma  = 6 - x}

και από \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{x}{{{\rm A}{\rm E}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{x}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{x}{{6 - x}} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \frac{8}{3} \Rightarrow {\rm E}\Delta  = \frac{{10}}{3}\,\,\,\left( 1 \right)}. Είναι \displaystyle{\Delta \Gamma  = {\rm E}{\rm Z}} ,

\displaystyle{\eta \mu \widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } = \eta \mu {\rm B} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{{\rm E}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm E}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{\Delta \Gamma }}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm Z}\Gamma }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{\Delta \Gamma }}{{6 - x}} = \frac{3}{5} \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow 5\Delta \Gamma  = 18 - 3x \Rightarrow 5\Delta \Gamma  = 10 \Rightarrow \Delta \Gamma  = 2\,\,\,\left( 2 \right)}.

Από \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow {\rm E}\Gamma  = \sqrt {{{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)}^2} + {2^2}}  = \frac{{2\sqrt {34} }}{3}}.


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#219

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Σάβ Ιουν 08, 2013 7:50 pm

sidchris έγραψε:Ασκηση 4η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9.
Έστω ο αριθμός \overline{xyz}, όπου x, y, z \in 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Σύμφωνα με την υπόθεση θα ισχύει:

\displaystyle{\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k}, από όπου έχουμε ότι x = k, y = 2k, z = 3k. Επίσης από την υπόθεση θα ισχύει ότι \overline{xyz} = \pi o \lambda 9.

Από τα κριτήρια διαιρετότητας θα πρέπει x + y + z = \pi o \lambda 9 \Leftrightarrow k + 2k + 3k = \pi o \lambda 9 \Leftrightarrow 6k = \pi o \lambda 9.

Θα πρέπει όμως 3k \leq 9 \Leftrightarrow k \leq 3 από όπου παίρνουμε ότι k = 3, αφού 6 \cdot 3 = 18 = \pi o \lambda 9.

Έτσι, έχουμε ότι x = k \Leftrightarrow \boxed{x = 3}, y = 2k \Leftrightarrow \boxed{y = 6}, z = 3k \Leftrightarrow \boxed{z = 9}.

Άρα, ο αριθμός είναι ο 369


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων

#220

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Σάβ Ιουν 08, 2013 9:50 pm

sidchris έγραψε:Άσκηση 129η
Στο παρακάτω τετράγωνο να δειχθεί ότι το τρίγωνο \displaystyle{{\rm E}{\rm Z}{\rm H}} είναι ορθογώνιο
Ορθογώνιο Τρίγωνο.PNG
Ορθογώνιο Τρίγωνο.PNG (8.4 KiB) Προβλήθηκε 1362 φορές
Έστω \displaystyle{E\Theta \bot B\Gamma }. Τότε \displaystyle{E\Theta =10,\,\,\,EA=2,\,\,\,\Theta H=5\Rightarrow E{{H}^{2}}={{10}^{2}}+{{5}^{2}}=125\,\,\,\left( 1 \right)}.

\displaystyle{E{{Z}^{2}}={{8}^{2}}+{{4}^{2}}=80\,\,\,\left( 3 \right),\,\,\,Z{{H}^{2}}={{6}^{2}}+{{3}^{2}}=45\,\,\,\left( 3 \right)}. Από \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow E{{Z}^{2}}+Z{{H}^{2}}=E{{H}^{2}}\Rightarrow \widehat{EZH}={{90}^{o}}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης