Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

[Mihalis_Lambrou]

α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Για τρεις αριθμούς, οι κάνουν την δουλειά.

Για μεγάλο που δεν διαιρείται από τους , οι αριθμοί

συνολικά Ν φορές και κάνουν την δουλειά.

[mick7]

Δεν είναι ειδικότερη περίπτωση της διοφαντικής



με θετικούς ακεραίους

[Mihalis_Lambrou]

Δεν είναι ειδικότερη περίπτωση της διοφαντικής



με θετικούς ακεραίους

Θα έλεγα ότι δεν είναι ειδική περίπτωση της εν λόγω Διοφαντικής. Άλλο γινόμενο και άλλο ΕΚΠ. Π.χ. για σταθερούς αριθμούς αριθμούς, το μεν ΕΚΠ είναι ο ίδιος ο σταθερός, αλλά το γινόμενο είναι μεγάλος αριθμός.

[mick7]

Εάν απαιτήσουμε να είναι πρώτοι όμως μεταξύ τους νομίζω το ΕΚΠ ισούται με το γινόμενο τους.

Θα έλεγα ότι δεν είναι ειδική περίπτωση της εν λόγω Διοφαντικής. Άλλο γινόμενο και άλλο ΕΚΠ. Π.χ. για σταθερούς αριθμούς αριθμούς, το μεν ΕΚΠ είναι ο ίδιος ο σταθερός, αλλά το γινόμενο είναι μεγάλος αριθμός.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε αριθμούς με ΕΚΠ το και άθροισμα το .
(Γιατί διαλέξαμε το ; Γιατί ξεπερνάνει το 100 και στην ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων εμφανίζονται ''μικροί'' πρώτοι.)


Ξεκινάμε με τους αριθμούς ( φορές), που έχουν ΕΚΠ το αλλά το άθροισμά τους είναι . Αυτό διορθώνεται αν αλλάξουμε κάποιους άσσους με ή με ή με ή με . Αυτές οι αλλαγές δεν θα επηρεάσουν το ΕΚΠ τους αλλά θα αυξήσουν το άθροισμά τους. Υπάρχουν τώρα πάρα πολλοί τρόποι να πετύχουμε το στόχο: ΑΘΡΟΙΣΜΑ .
Μας λείπουν μονάδες.
Αν κάνουμε δυάρια όλους τους άσσους, θα έχουμε πιάσει το , μια μονάδα μακρυά από τον στόχο. Έναν άσσο λοιπόν ας τον κάνουμε τριάρι.
Άρα οι αριθμοί ( φορές), λύνουν το πρόβλημα.

[Mihalis_Lambrou]

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Παραλλαγή αυτού που έγραψα παραπάνω καλύπτει και αυτή την περίπτωση.

Οι αριθμοί είναι

(μία φορά)

(μία φορά)

( φορές)

( φορές)

Εδώ ΕΚΠ άθροισμα

[Mihalis_Lambrou]

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Και άλλη παραλλαγή.

Οι αριθμοί είναι οι

(μία φορά)

(μία φορά)

( φορές)

( φορές)

( φορές)

Εδώ EKΠ άθροισμα