Αθροισμα τριψήφιων

#1

Θεωρούμε τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{x , y}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ και με αυτούς δημιουργούμε όλους τους δυνατούς τριψήφιους.
Αν το άθροισμα των πιο πάνω τριψήφιων διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{A=x^2 +y^2 -2024 xy}$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΑΠΡΟΣΕΞΙΑΣ: Διόρθωσα τηνναπροσεξία στην κατασκευή της άσκησης:
Αντί της φράσης: "διαιρείται με το $\displaystyle{749}$ ", είναι : "διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ ."
Ζητώ συγνώμη, από όσους ασχολήθηκαν και δεν τους έβγαινε η άσκηση

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 12, 2024 7:08 pm
Θεωρούμε τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{x , y}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ και με αυτούς δημιουργούμε όλους τους δυνατούς τριψήφιους.
Αν το άθροισμα των πιο πάνω τριψήφιων διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{A=x^2 +y^2 -2024 xy}$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΑΠΡΟΣΕΞΙΑΣ: Διόρθωσα τηνναπροσεξία στην κατασκευή της άσκησης:
Αντί της φράσης: "διαιρείται με το $\displaystyle{749}$ ", είναι : "διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ ."
Ζητώ συγνώμη, από όσους ασχολήθηκαν και δεν τους έβγαινε η άσκηση

.
Δημήτρη, σίγουρα; Νομίζω ότι ούτε τώρα είναι σωστή η άσκηση.

Οι εν λόγω τριψήφιοι είναι οι οκτώ αριθμοί

$(i) \, 100x+10x+x, \, (ii)\, 100x+10x+y, \, (iii)\, 100x+10y+x, \, (iv) \, 100y+10x+x,$

$(v)\, 100x+10y+y, \, (vi)\, 100y+10x+y, \, (vii) \, 100y+10+x,\, (viii) \, 100y+10y+y$ ,

των οποίων το άθροισμα είναι $444(x+y)= 2^2\times 3 \times 37(x+y)$

Από την άλλη η ανάλυση σε πρώτους του 1477

είναι $7\times 211$ . Οπότε η υπόθεση γίνεται $7\times 211 |2^2\times 3 \times 37(x+y)$ . Aλλά αυτό δεν είναι δυνατόν να ισχύει γιατί αποκλείεται ο 211

να διαιρεί τον x+y

ως μικρό ( $\le 18$ ).

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2024 7:43 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 12, 2024 7:08 pm
Θεωρούμε τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{x , y}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ και με αυτούς δημιουργούμε όλους τους δυνατούς τριψήφιους.
Αν το άθροισμα των πιο πάνω τριψήφιων διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{A=x^2 +y^2 -2024 xy}$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΑΠΡΟΣΕΞΙΑΣ: Διόρθωσα τηνναπροσεξία στην κατασκευή της άσκησης:
Αντί της φράσης: "διαιρείται με το $\displaystyle{749}$ ", είναι : "διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ ."
Ζητώ συγνώμη, από όσους ασχολήθηκαν και δεν τους έβγαινε η άσκηση
.
Δημήτρη, σίγουρα; Νομίζω ότι ούτε τώρα είναι σωστή η άσκηση.

Οι εν λόγω τριψήφιοι είναι οι οκτώ αριθμοί

$(i) \, 100x+10x+x, \, (ii)\, 100x+10x+y, \, (iii)\, 100x+10y+x, \, (iv) \, 100y+10x+x,$

$(v)\, 100x+10y+y, \, (vi)\, 100y+10x+y, \, (vii) \, 100y+10+x,\, (viii) \, 100y+10y+y$ ,

των οποίων το άθροισμα είναι $444(x+y)= 2^2\times 3 \times 37(x+y)$

Από την άλλη η ανάλυση σε πρώτους του είναι $7\times 211$ . Οπότε η υπόθεση γίνεται $7\times 211 |2^2\times 3 \times 37(x+y)$ . Aλλά αυτό δεν είναι δυνατόν να ισχύει γιατί αποκλείεται ο να διαιρεί τον ως μικρό ( $\le 18$ ).

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ φίλε Μιχάλη. Με ΥΓΕΙΑ και ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ το νέο έτος.

Για την άσκηση αυτή, αν είναι $\displaystyle{x,y\neq 0}$ , τότε πράγματι δεν διαιρείται το εν λόγω άθροισμα. Αν όμως ένας μόνο από τους $\displaystyle{x,y}$
είναι ίσος με το μηδέν, τότε θα δούμε ότι είναι δυνατόν να διαιρείται το άθροισμα μας με το 1477

.
Πράγματι, χωρίς βλάβη, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{x=0 , y\neq 0}$ . Τότε όλοι οι δυνατοί τριψήφιοι είναι:
$\displaystyle{y00 , yy0 , y0y , yyy}$
Το άθροισμα αυτών των τεσσάρων τριψήφιων είναι ίσο με $\displaystyle{400y + 20y + 2y}$ δηλαδή ίσο με $\displaystyle{422y}$ .
Για να διαιρείται ο αριθμός αυτός με το 1477

πρέπει να είναι $\displaystyle{y=7}$ .
Άρα πρέπει $\displaystyle{x=0 , y=7}$ , (ή $\displaystyle{y=0 , x=7}$ )
Με τις τιμές αυτές για τα $\displaystyle{x , y}$ έχουμε:

$\displaystyle{A=49}$

Αθροισμα τριψήφιων

Αθροισμα τριψήφιων

Re: Αθροισμα τριψήφιων

Re: Αθροισμα τριψήφιων

Μέλη σε σύνδεση