Μαθηματικός Κύκλος

Τόλης · #1

Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\large a=\large 30^{239} + 239^{30}$ δεν είναι πρώτος.

#2

Τόλης έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 10:43 pm
Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\large a=\large 30^{239} + 239^{30}$ δεν είναι πρώτος.

Θα τρυπήσω την μύτη μου αν η άσκηση βγαίνει με γνώσεις Α Γυμνασίου.

Ας το δούμε με πιο προχωρημένα Μαθηματικά.

$A= (30^{239} +1)+ (239^{30}-1)$

Το $30^{239} +1$ είναι πολλαπλάσιο του

από την ταυτότητα $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b) (a^{2n}-...\pm b^{2n})$ .

Επίσης, από το Μικρό Θεώρημα του Fermat, για τον πρώτο

έχουμε $239^{30} = 1 mod 31$ . Άρα και ο $239^{30}-1$ είναι πολλαπλάσιο του

. Οπότε και το άθροισμά τους είναι πολλαπλάσιο του

.

Τόλης · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 12:08 am

Τόλης έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 10:43 pm
Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\large a=\large 30^{239} + 239^{30}$ δεν είναι πρώτος.
Θα τρυπήσω την μύτη μου αν η άσκηση βγαίνει με γνώσεις Α Γυμνασίου.

Ας το δούμε με πιο προχωρημένα Μαθηματικά.

$A= (30^{239} +1)+ (239^{30}-1)$

Το $30^{239} +1$ είναι πολλαπλάσιο του από την ταυτότητα $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b) (a^{2n}-...\pm b^{2n})$ .

Επίσης, από το Μικρό Θεώρημα του Fermat, για τον πρώτο έχουμε $239^{30} = 1 mod 31$ . Άρα και ο $239^{30}-1$ είναι πολλαπλάσιο του . Οπότε και το άθροισμά τους είναι πολλαπλάσιο του .

Δεν ξέρω τι είναι το Μικρό Θεώρημα Fermat...
Τώρα κατάλαβα γιατί δεν μπορούσα να λύσω την άσκηση.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση είναι από το βιβλίο Μαθηματικοί Κύκλοι, εκδόσεις Εφαλτήριο και έλεγε στις λύσεις, δείξτε ότι διαιρείται με το $\large 31$ χωρίς τεκμηρίωση.

#4

Τόλης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 12:14 am
Δεν ξέρω τι είναι το Μικρό Θεώρημα Fermat...
Τώρα κατάλαβα γιατί δεν μπορούσα να λύσω την άσκηση.

Ευκαιρία να ξεκαθαρίσουμε κάτι.

Σύμφωνα με τους κανονισμούς μας οι αναρτήσεις ασκήσεων μπαίνουν ΜΟΝΟ αν γνωρίζουμε την λύση εκτός αν δηλώσουμε ρητά ότι δεν την γνωρίζουμε. Αλλιώς είναι ανήθικο να αναρτούμε ασκήσεις που δεν γνωρίζουμε την δυσκολία τους ή οι οποίες μπορεί να είναι ανοικτό πρόβλημα.

Εδώ έχουμε το ΑΚΡΩΣ παράδοξο να αναρτάς άσκηση στο φάκελο της Α' Γυμνασίου, οπότε εμμέσως πλην σαφώς εννοείς ότι λύνεται με γνώσεις Α΄ Γυμνασίου. Έλεος!

Όπως και να είναι, επειδή είσαι καινούργιος στο φόρουμ, το δεχόμαστε. Αλλά, την επόμενη φορά, παρακαλώ να είσαι προσεκτικός.

#5

Τόλης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 12:14 am
Δεν ξέρω τι είναι το Μικρό Θεώρημα Fermat...
Τώρα κατάλαβα γιατί δεν μπορούσα να λύσω την άσκηση.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση είναι από το βιβλίο Μαθηματικοί Κύκλοι, εκδόσεις Εφαλτήριο και έλεγε στις λύσεις, δείξτε ότι διαιρείται με το $\large 31$ χωρίς τεκμηρίωση.

Γεια σου Τόλη. Αν έδινες την άσκηση όπως ήταν στο βιβλίο, θα μπορούσε κάποιος να την λύσει και χωρίς το θεώρημα Fermat,αφού
στην εκεί εκφώνηση έλεγε να δείξουμε ότι διαιρείται με το $\displaystyle{31}$ , οπότε μπορούμε να οδηγηθούμε στην λύση με βάση αυτήν την
πληροφορία (αλλά και πάλι η άσκηση δεν αφορά βέβαια την Α Γυμνασίου, αλλά αφορά τους μαθηματικούς διαγωνισμούς)

Θα χρησιμοποιήσουμε κάτι γνωστό σε όσους δίνουν διαγωνισμούς :

$\displaystyle{(a+b)^n =}$ πολλ $\displaystyle{a +b^n}$ , όπου $\displaystyle{n}$ είναι θετικός ακέραιος. (Προκύπτει από το διώνυμο του Νεύτωνα ή και με την τέλεια

επαγωγή).

Έχουμε λοιπόν: $\displaystyle{30^{239}+239^{30} =(31-1)^{239}+(239^{2})^{15}=}$ πολλ $\displaystyle{31 +(-1)^{239}+57121^{15} =}$

πολλ $\displaystyle{31 -1 +(31.1842+19)^{15} =}$ πολλ $\displaystyle{31 -1 +}$ πολλ $\displaystyle{(31 . 1842) +19^{15}=}$

πολλ $\displaystyle{31 -1 +}$ πολλ $\displaystyle{31 +((19)^3)^5 =}$ πολλ $\displaystyle{31 -1 + 6859^5 =}$ πολλ $\displaystyle{31 -1 +(31.221 +8)^5 =}$

πολλ $\displaystyle{31 -1 +}$ πολλ $\displaystyle{31.221 +8^5 =}$ πολλ $\displaystyle{31 -1 +}$ πολλ $\displaystyle{31 + 32768 =}$

πολλ $\displaystyle{31 +32767 =}$ πολλ $\displaystyle{31 +31.1057 =}$ πολλ $\displaystyle{31}$ .

Συνεπώς ο δοσμένος αριθμός είναι πολλαπλάσιος του $\displaystyle{31}$ και άρα δεν είναι πρώτος.

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 12:25 pm

Γεια σου Τόλη. Αν έδινες την άσκηση όπως ήταν στο βιβλίο, θα μπορούσε κάποιος να την λύσει και χωρίς το θεώρημα Fermat,αφού
στην εκεί εκφώνηση έλεγε να δείξουμε ότι διαιρείται με το $\displaystyle{31}$ ,

Δημήτρη, έχω την εντύπωση (αυτό καταλαβαίνω από τα συμφραζόμενα στο σχόλιο του Τόλη, ας με διαψεύσει ή επιβεβαιώσει) ότι το βιβλίο δεν έχει την λύση του προβλήματος. Απλά κάπου, έξω από την εκφώνηση, γράφει ως σχόλιο ή ως υπόδειξη ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του

.

Τα λέω αυτά γιατί αν το βιβλίο είχε λύση, δεν θα έγραφε ο Τόλης την φράση "τώρα κατάλαβα γιατί δεν μπορούσα να λύσω την άσκηση" και επίσης δεν θα έγραφε ότι το βιβλίο αναφέρει ότι ο αριθμός "διαιρείται με το \large 31 χωρίς τεκμηρίωση".

Μου είναι σαφές ότι ο Τόλης, δικαιολογημένα λόγω ηλικίας, δεν αντιλήφθηκε την ουσία της άσκησης. (Στην ηλικία του ο ίδιος είχα το 1/10 των γνώσεών του Μαθηματικών. Τότε δεν ήξερα ούτε τι θα πει πρώτος αριθμός).

Κάνω τον ντέτεκτιβ (ως μαθητής διάβαζα με πάθος Σέρλοκ Χολμς) και φαίνεται μου έμεινε το κουσούρι από τα παλιά.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 3:00 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 12:25 pm

Γεια σου Τόλη. Αν έδινες την άσκηση όπως ήταν στο βιβλίο, θα μπορούσε κάποιος να την λύσει και χωρίς το θεώρημα Fermat,αφού
στην εκεί εκφώνηση έλεγε να δείξουμε ότι διαιρείται με το $\displaystyle{31}$ ,
Δημήτρη, έχω την εντύπωση (αυτό καταλαβαίνω από τα συμφραζόμενα στο σχόλιο του Τόλη, ας με διαψεύσει ή επιβεβαιώσει) ότι το βιβλίο δεν έχει την λύση του προβλήματος. Απλά κάπου, έξω από την εκφώνηση, γράφει ως σχόλιο ή υπόδειξη ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .

Τα λέω αυτά γιατί αν το βιβλίο είχε λύση, δεν θα έγραφε ο Τόλης την φράση "τώρα κατάλαβα γιατί δεν μπορούσα να λύσω την άσκηση". Και μου είναι σαφές ότι ο ίδιος, δικαιολογημένα λόγω ηλικίας, δεν αντιλήφθηκε την ουσία της άσκησης. (Στην ηλικία του ο ίδιος είχα το 1/10 των γνώσεών του Μαθηματικών. Τότε δεν ήξερα ούτε τι θα πει πρώτος αριθμός).

Κάνω τον ντέτεκτιβ (ως μαθητής διάβαζα με πάθος Σέρλοκ Χολμς) και φαίνεται μου έμεινε το κουσούρι από τα παλιά.

Μιχάλη, αν δεν έδινε πράγματι στην εκφώνηση το κίνητρο να χρησιμοποιηθεί το 31, τότε σίγουρα δεν ήταν όχι μόνο κατάλληλη για Α Γυμνασίου αλλά ούτε και για τους διαγωνισμούς της ΕΜΕ . Μου είχε τύχει παλιά (30 χρόνια πριν) να δω σε κάποιο βιβλίο ανάλυσης μια άλυτη άσκηση που μου φάνηκε τότε αδύνατον να την λύσω, οπότε πήρα τηλέφωνο τον συγγραφέα του βιβλίου, και του ζήτησα αν μπορεί να μου δώσει κάποια υπόδειξη. Θεώρησα αυτονόητο ότι θα καταλάβαινε ότι ήταν από δικό του βιβλίο και δεν του το ανέφερα. Μου είπε ότι μόλις την λύσει θα μου τηλεφωνήσει. Μετά από περίπου μία ώρα, με παίρνει και μου λέει: "Που την βρήκες αυτήν την άσκηση; Δεν μπόρεσα να δώσω λύση. Απορώ πως βάζουν κάποιοι τέτοιες ασκήσεις στα βιβλία τους!!!" Συμβαίνουν και αυτά.

Τόλης · #8

Γειά σας κύριε Δημήτρη και κύριε Μιχάλη καθώς έχω την αγγλική έκδοση του βιβλίου, ορίστε και το δείγμα.

: mathematical circles.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

: mathematical circles solution.png (9.09 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Είχα διαβάσει σε σχόλια ότι το βιβλίο απευθύνεται σε μικρές ηλικίες, ήταν άσκηση που βρήκα καθώς ξεφύλλιζα το βιβλίο, καθώς έχω τελειώσει μόνο τα δύο πρώτα κεφάλαια και απλά έπεσα πάνω σε αυτήν την άσκηση και μου φάνηκε Α΄ Γυμνασίου, καθώς είχε δυνάμεις φυσικών αριθμών και διαιρετότητα.
Ωστόσο θα έπρεπε να ζητήσω βοήθεια για την επίλυση και όχι απλά να την ανεβάσω.
Ζητώ συγνώμη.

Al.Koutsouridis · #9

Η άσκηση, προς λύση, είναι από το υποκεφάλαιο "Το μικρό θεώρημα του Φερμάτ". Οπότε η λύση που προσπαθούν να εκμαιεύσουν οι συγγραφείς είναι πάνω σε αυτό το θεώρημα. Σαν υπόδειξη δίνεται , στο τέλος του βιβλίου στο κεφάλαιο των λύσεων/υποδείξεων, ότι ο εν λόγω αριθμός διαιρείτε με το 31.

Μαθηματικός Κύκλος

Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Re: Μαθηματικός Κύκλος

Μέλη σε σύνδεση