Βρες... τον μεγαλύτερο!

Τόλης · #1

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που είναι διαιρέτης του:

$\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$

για όλους του θετικούς άρτιους αριθμούς $\large \psi$ ;

#2

Τόλης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 2:01 pm
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που είναι διαιρέτης του:

$\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$

για όλους του θετικούς άρτιους αριθμούς $\large \psi$ ;

.
Απάντηση: $3\cdot 5$ .

Πραγματικά, για $\psi =4$ και μετά $\psi = 10$ και μετά $\psi = 14$ , ο αριθμός μας πρέπει να διαιρεί τον

$5\cdot 7 \cdot 9\cdot 11 \cdot 13= 3^2\cdot 5 \cdot 7\cdot 11 \cdot 13$ και τον

$11\cdot 13 \cdot 15\cdot 17 \cdot 19= 3\cdot 5 \cdot 11\cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$ και τον

$15\cdot 17 \cdot 19\cdot 21 \cdot 23= 3^2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 17\cdot 19 \cdot 23$ .

Άρα και τον ΜΚΔ τους, που είναι ο παραπάνω.

Αντίοστροφα, ο $3\cdot 5$ διαιρεί όλους τους παραπάνω. Για την απόδειξη

α) Θέτοντας τον άρτιο $\psi$ διαδοχικά ίσο με $6k, \, 6k+2, \, 6k+4$ εύκολα βλέπουμε ότι ο $\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$ έχει παράγοντα τον

.

β) Ομοίως θέτοντας τον άρτιο $\psi$ διαδοχικά ίσο με $10k, \, 10k+2, \, 6k+4, \, 10k+6,\, 10k+8$ , εύκολα βλέπουμε ότι ο $\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$ έχει παράγοντα τον

.

Για παράδειγμα, ας δούμε το τελευταίο: Αν $\psi = 10k+8$ τότε ο όρος $\psi +7$ του γινομένου ισούται με 10k+15

, που είναι πολλαπλάσιο του

. Παρόμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα. Ευχαριστώ τον Κώστα Σφακιανάκη (ksofa) για την επισήμανση.

#3

Νομίζοντας ότι η άσκηση ζητούσε να βρούμε τον μεγαλύτερο (γνήσιο) διαιρέτη του αριθμού που δόθηκε,
ετοιμαζόμουν να απαντήσω ότι είναι το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ του δοσμένου αριθμού.
Διότι αφού ο αριθμός ψ είναι άρτιος, τότε όλοι οι παράγοντες είναι περιττοί και αφού είναι περισσότεροι από τρεις,
σίγουρα ο ένας τουλάχιστον θα περιέχει το 3.
Αν λοιπόν ο αριθμός που δόθηκε αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, θα έχει την μορφή:

$\displaystyle{3^{n_1}.p_2 ^{n_2} . ... . p_k ^{n_k}}$ , όπου $\displaystyle{p_2 <p_3 < ... <p_k}$ , και συνεπώς ο μεγαλύτερος από τους γνήσιους διαιρέτες του θα είναι ο

$\displaystyle{3^{n_1 -1}. p_2 ^{n_2} . ... . p_k^{n_k}}$ , δηλαδή το ένα τρίτο του αρχικού.

Βλέποντας την λύση του Μιχάλη, είδα ότι η άσκηση δεν ζητούσε μάλλον αυτό.

Τόλης · #4

Γειά σας κύριε Μιχάλη και κύριε Δημήτρη, την συγκεκριμένη άσκηση την βρήκα καθώς έλυνα παλιά θέματα από τον Αμερικάνικο Μαθηματικό Διαγωνισμό(American Mathematics Competitions-AMC 10B) του 2003, και μου τράβηξε το ενδιαφέρον.
Ωστόσο οι απαντήσεις αυτού του διαγωνισμού είναι πολλαπλής επιλογής σαν τον διαγωνισμό "Καγκουρό" που έχουμε εδώ στην Ελλάδα.
Συγκεκριμένα οι επιλογές:
α) $\large 3$
β) $\large 5$
γ) $\large 11$
δ) $\large 15$
ε) $\large 165$

Αν και δεν πιστεύω να έχω σφάλμα στην μετάφραση, μεταφέρω ακριβώς το ερώτημα:
What is the largest integer that is a divisor of
$\displaystyle (n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$
for all positive even integers

?

Τόλης · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 4:39 pm

Τόλης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 2:01 pm
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που είναι διαιρέτης του:

$\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$

για όλους του θετικούς άρτιους αριθμούς $\large \psi$ ;
.
Απάντηση: $3\cdot 5$ .

Πραγματικά, για $\psi =4$ και μετά $\psi = 10$ και μετά $\psi = 14$ , ο αριθμός μας πρέπει να διαιρεί τον

$5\cdot 7 \cdot 9\cdot 11 \cdot 13= 3^2\cdot 5 \cdot 7\cdot 11 \cdot 13$ και τον

$11\cdot 13 \cdot 15\cdot 17 \cdot 19= 3\cdot 5 \cdot 11\cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$ και τον

$15\cdot 17 \cdot 19\cdot 21 \cdot 23= 3^2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 17\cdot 19 \cdot 23$ .

Άρα και τον ΜΚΔ τους, που είναι ο παραπάνω.

Αντίοστροφα, ο $3\cdot 5$ διαιρεί όλους τους παραπάνω. Για την απόδειξη

α) Θέτοντας τον άρτιο $\psi$ διαδοχικά ίσο με $6k, \, 6k+2, \, 6k+4$ εύκολα βλέπουμε ότι ο $\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$ έχει παράγοντα τον .

β) Ομοίως θέτοντας τον άρτιο $\psi$ διαδοχικά ίσο με $10k, \, 10k+2, \, 6k+4, \, 10k+6,\, 10k+8$ , εύκολα βλέπουμε ότι ο $\large (\psi +1)(\psi +3)(\psi+5 )(\psi +7)(\psi+9 )$ έχει παράγοντα τον .

Για παράδειγμα, ας δούμε το τελευταίο: Αν $\psi = 10k+8$ τότε ο όρος $\psi +7$ του γινομένου ισούται με , που είναι πολλαπλάσιο του . Παρόμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα. Ευχαριστώ τον Κώστα Σφακιανάκη (ksofa) για την επισήμανση.

Πραγματικά πολύ όμορφη η λύση σας κύριε Μιχάλη.
Μια άλλη προσέγγιση πού αναφέρει στις λύσεις του διαγωνισμού είναι η εξής:
Για όλους τους διαδοχικούς περιττούς ακέραιους, ένας στους πέντε είναι πολλαπλάσιο του 5 και ένας από στους τρεις είναι πολλαπλάσιο του 3. Η απάντηση είναι $\large 3\cdot 5=15$ , άρα το δ.

Βρες... τον μεγαλύτερο!

Βρες... τον μεγαλύτερο!

Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!

Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!

Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!

Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!

Μέλη σε σύνδεση