Βρες... τον μεγαλύτερο!
Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Βρες... τον μεγαλύτερο!
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που είναι διαιρέτης του:
για όλους του θετικούς άρτιους αριθμούς ;
για όλους του θετικούς άρτιους αριθμούς ;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!
.
Απάντηση: .
Πραγματικά, για και μετά και μετά , ο αριθμός μας πρέπει να διαιρεί τον
και τον
και τον
.
Άρα και τον ΜΚΔ τους, που είναι ο παραπάνω.
Αντίοστροφα, ο διαιρεί όλους τους παραπάνω. Για την απόδειξη
α) Θέτοντας τον άρτιο διαδοχικά ίσο με εύκολα βλέπουμε ότι ο έχει παράγοντα τον .
β) Ομοίως θέτοντας τον άρτιο διαδοχικά ίσο με , εύκολα βλέπουμε ότι ο έχει παράγοντα τον .
Για παράδειγμα, ας δούμε το τελευταίο: Αν τότε ο όρος του γινομένου ισούται με , που είναι πολλαπλάσιο του . Παρόμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.
Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα. Ευχαριστώ τον Κώστα Σφακιανάκη (ksofa) για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Φεβ 01, 2023 7:16 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4768
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!
Νομίζοντας ότι η άσκηση ζητούσε να βρούμε τον μεγαλύτερο (γνήσιο) διαιρέτη του αριθμού που δόθηκε,
ετοιμαζόμουν να απαντήσω ότι είναι το του δοσμένου αριθμού.
Διότι αφού ο αριθμός ψ είναι άρτιος, τότε όλοι οι παράγοντες είναι περιττοί και αφού είναι περισσότεροι από τρεις,
σίγουρα ο ένας τουλάχιστον θα περιέχει το 3.
Αν λοιπόν ο αριθμός που δόθηκε αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, θα έχει την μορφή:
, όπου , και συνεπώς ο μεγαλύτερος από τους γνήσιους διαιρέτες του θα είναι ο
, δηλαδή το ένα τρίτο του αρχικού.
Βλέποντας την λύση του Μιχάλη, είδα ότι η άσκηση δεν ζητούσε μάλλον αυτό.
ετοιμαζόμουν να απαντήσω ότι είναι το του δοσμένου αριθμού.
Διότι αφού ο αριθμός ψ είναι άρτιος, τότε όλοι οι παράγοντες είναι περιττοί και αφού είναι περισσότεροι από τρεις,
σίγουρα ο ένας τουλάχιστον θα περιέχει το 3.
Αν λοιπόν ο αριθμός που δόθηκε αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, θα έχει την μορφή:
, όπου , και συνεπώς ο μεγαλύτερος από τους γνήσιους διαιρέτες του θα είναι ο
, δηλαδή το ένα τρίτο του αρχικού.
Βλέποντας την λύση του Μιχάλη, είδα ότι η άσκηση δεν ζητούσε μάλλον αυτό.
Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!
Γειά σας κύριε Μιχάλη και κύριε Δημήτρη, την συγκεκριμένη άσκηση την βρήκα καθώς έλυνα παλιά θέματα από τον Αμερικάνικο Μαθηματικό Διαγωνισμό(American Mathematics Competitions-AMC 10B) του 2003, και μου τράβηξε το ενδιαφέρον.
Ωστόσο οι απαντήσεις αυτού του διαγωνισμού είναι πολλαπλής επιλογής σαν τον διαγωνισμό "Καγκουρό" που έχουμε εδώ στην Ελλάδα.
Συγκεκριμένα οι επιλογές:
α)
β)
γ)
δ)
ε)
Αν και δεν πιστεύω να έχω σφάλμα στην μετάφραση, μεταφέρω ακριβώς το ερώτημα:
What is the largest integer that is a divisor of
for all positive even integers ?
Ωστόσο οι απαντήσεις αυτού του διαγωνισμού είναι πολλαπλής επιλογής σαν τον διαγωνισμό "Καγκουρό" που έχουμε εδώ στην Ελλάδα.
Συγκεκριμένα οι επιλογές:
α)
β)
γ)
δ)
ε)
Αν και δεν πιστεύω να έχω σφάλμα στην μετάφραση, μεταφέρω ακριβώς το ερώτημα:
What is the largest integer that is a divisor of
for all positive even integers ?
Re: Βρες... τον μεγαλύτερο!
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Φεβ 01, 2023 4:39 pm.
Απάντηση: .
Πραγματικά, για και μετά και μετά , ο αριθμός μας πρέπει να διαιρεί τον
και τον
και τον
.
Άρα και τον ΜΚΔ τους, που είναι ο παραπάνω.
Αντίοστροφα, ο διαιρεί όλους τους παραπάνω. Για την απόδειξη
α) Θέτοντας τον άρτιο διαδοχικά ίσο με εύκολα βλέπουμε ότι ο έχει παράγοντα τον .
β) Ομοίως θέτοντας τον άρτιο διαδοχικά ίσο με , εύκολα βλέπουμε ότι ο έχει παράγοντα τον .
Για παράδειγμα, ας δούμε το τελευταίο: Αν τότε ο όρος του γινομένου ισούται με , που είναι πολλαπλάσιο του . Παρόμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.
Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα. Ευχαριστώ τον Κώστα Σφακιανάκη (ksofa) για την επισήμανση.
Πραγματικά πολύ όμορφη η λύση σας κύριε Μιχάλη.
Μια άλλη προσέγγιση πού αναφέρει στις λύσεις του διαγωνισμού είναι η εξής:
Για όλους τους διαδοχικούς περιττούς ακέραιους, ένας στους πέντε είναι πολλαπλάσιο του 5 και ένας από στους τρεις είναι πολλαπλάσιο του 3. Η απάντηση είναι , άρα το δ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες