Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Τόλης · #1

Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.

#2

Τόλης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 10:26 am
Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.

Εύκολα καταλήγουμε ότι ο αριθμός που ζητάμε πρέπει να είναι τουλάχιστον με $\displaystyle{4}$ ψηφία.
Έστω λοιπόν $\displaystyle{XYZW}$ ο ζητούμενος τετραψήφιος. Τότε θα πρέπει:

$\displaystyle{1000X+100Y+10Z+W=4(1000W+100Z+10Y+X)\Leftrightarrow 332X+20Y=130Z+1333W.}$ (1)
Από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο $\displaystyle{W}$ είναι άρτιος. Άρα $\displaystyle{W=2M , M\in N}$
Έτσι η (1) γράφεται: $\displaystyle{166X+10Y=65Z+1333M}$ , (2)

Έστω ότι είναι $\displaystyle{M\geq 2\Rightarrow 1333M\geq 2666\Rightarrow 1333M+65Z\geq 2666}$ . Ενώ αφού $\displaystyle{X\leq 9 , Y\leq 9 \Rightarrow}$
$\displaystyle{166X+10Y\leq 1584}$ , οπότε η (2) είναι αδύνατη.
Άρα $\displaystyle{M\in\{0,1\}}$

Αν $\displaystyle{M=0}$ εύκολα καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν $\displaystyle{M=1}$ τότε $\displaystyle{W=2}$ και η (2) γράφεται: $\displaystyle{166X+10Y=65Z+1333}$ , (3)

Αν $\displaystyle{X\leq 7\Rightarrow 166X\leq 1162}$ και αφού $\displaystyle{Y\leq 9 \Rightarrow 10Y\leq 90}$ , οπότε $\displaystyle{166X+10Y\leq 1252\Rightarrow}$
$\displaystyle{65Z+1333\leq 1252}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{X\in \{8,9\}}$

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι για $\displaystyle{X=8}$ , η (3) δίνει $\displaystyle{Y=7 , Z=1}$

Συνεπώς ο αριθμός που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{8712}$ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ίσως η άσκηση να έπρεπε να δίνει ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι τετραψήφιος. Γιατί ίσως υπάρχουν και άλλοι με περισσότερα από

ψηφία που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του προβλήματος. Δεν το έχω κοιτάξει, αν αποκλείονται άλλοι. Όταν το κοιτάξω, θα επανέλθω

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 4:02 pm

Τόλης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 10:26 am
Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.

Συνεπώς ο αριθμός που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{8712}$ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ίσως η άσκηση να έπρεπε να δίνει ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι τετραψήφιος. Γιατί ίσως υπάρχουν και άλλοι με περισσότερα από ψηφία που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του προβλήματος. Δεν το έχω κοιτάξει, αν αποκλείονται άλλοι. Όταν το κοιτάξω, θα επανέλθω

Δεν νομίζω ότι υπάρχει εύκολος τρόπος να αποδείξουμε ότι ο ζητούμενος αριθμός δεν μπορεί να έχει περισσότερα από

ψηφία
και θεωρώ ότι πρέπει να δοθεί στην εκφώνηση ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι το πολύ τετραψήφιος.

Τόλης · #4

Γειά σας κύριε Δημήτρη Ιωάννου, η άσκηση ζητούσε να βρεθεί ο αριθμός που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.

Εσείς βρήκατε τον αριθμό 8712

, ωστόσο αν πάρουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού δηλαδή το

και το βάλουμε πρώτο, θα σχηματιστεί ο αριθμός 2871

. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός που προέκυψε με την μεταφορά του τελευταίου ψηφίου στο να γίνει πρώτο, δηλαδή ο 2871

δεν είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερος από τον 8712

, ίσα ίσα είναι μικρότερος από αυτόν.

Αυτό που πρέπει να ισχύει είναι ότι:
Έστω ο αριθμός

που βρήκαμε εμείς, άρα a=........X

, όπου

τελευταίο ψηφίο.
Θα πρέπει ο αριθμός που θα προκύψει με την μεταφορά του τελευταίου ψηφίου ώστε να γίνει πρώτο έστω b=X.......

, να είναι

φορές μεγαλύτερος από τον

,δηλαδή

.

Τόλης · #5

Ένα ευκολότερο πρόβλημα είναι το εξής:

Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός διπλασιάζεται.

Τόλης · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 4:02 pm

Τόλης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 10:26 am
Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.
Εύκολα καταλήγουμε ότι ο αριθμός που ζητάμε πρέπει να είναι τουλάχιστον με $\displaystyle{4}$ ψηφία.
Έστω λοιπόν $\displaystyle{XYZW}$ ο ζητούμενος τετραψήφιος. Τότε θα πρέπει:

$\displaystyle{1000X+100Y+10Z+W=4(1000W+100Z+10Y+X)\Leftrightarrow 332X+20Y=130Z+1333W.}$ (1)
Από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο $\displaystyle{W}$ είναι άρτιος. Άρα $\displaystyle{W=2M , M\in N}$
Έτσι η (1) γράφεται: $\displaystyle{166X+10Y=65Z+1333M}$ , (2)

Έστω ότι είναι $\displaystyle{M\geq 2\Rightarrow 1333M\geq 2666\Rightarrow 1333M+65Z\geq 2666}$ . Ενώ αφού $\displaystyle{X\leq 9 , Y\leq 9 \Rightarrow}$
$\displaystyle{166X+10Y\leq 1584}$ , οπότε η (2) είναι αδύνατη.
Άρα $\displaystyle{M\in\{0,1\}}$

Αν $\displaystyle{M=0}$ εύκολα καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν $\displaystyle{M=1}$ τότε $\displaystyle{W=2}$ και η (2) γράφεται: $\displaystyle{166X+10Y=65Z+1333}$ , (3)

Αν $\displaystyle{X\leq 7\Rightarrow 166X\leq 1162}$ και αφού $\displaystyle{Y\leq 9 \Rightarrow 10Y\leq 90}$ , οπότε $\displaystyle{166X+10Y\leq 1252\Rightarrow}$
$\displaystyle{65Z+1333\leq 1252}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{X\in \{8,9\}}$

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι για $\displaystyle{X=8}$ , η (3) δίνει $\displaystyle{Y=7 , Z=1}$

Συνεπώς ο αριθμός που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{8712}$ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ίσως η άσκηση να έπρεπε να δίνει ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι τετραψήφιος. Γιατί ίσως υπάρχουν και άλλοι με περισσότερα από ψηφία που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του προβλήματος. Δεν το έχω κοιτάξει, αν αποκλείονται άλλοι. Όταν το κοιτάξω, θα επανέλθω

Αυτό πού κάνατε εσείς εδώ είναι εναλλαγή ψηφίων και όχι μεταφορά του τελευταίου στην αρχή.
Δηλαδή ότι ισχύει αυτό XYZW=4WZYX

, ενώ θα έπρεπε να ισχύει αυτό XYZW=4WXYZ

(AN ο αριθμός είναι τετραψήφιος).

#7

Ονομάζουμε $\displaystyle{a_n a_{n-1} ... a_1 a_0}$ τον ζητούμενο αριθμό.
Θέλουμε:
$\displaystyle{a_0 a_n a_{n-1}...a_2 a_1 =4(a_n a_{n-1}...a_1 a_0 )}$

Κάνοντας τις πράξεις εύκολα βρίσκουμε:

$\displaystyle{a_0 (10^n -4) =39(a_n 10^{n-1} +a_{n-1}.10^{n-2} + . . . +_a_2 .10 +a_1 )}$ και από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{39}$

διαιρεί τον $\displaystyle{10^n -4}$

Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{10^2 =22mod39, 10^3 = 25mod39 , 10^4 =16mod19 , 10^5 =4mod39 , 10^6 = 1mod39}$ και άρα

$\displaystyle{10^n = 1mod39}$ , για κάθε $\displaystyle{n\geq 6}$

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι μόνο για $\displaystyle{n=5}$ , 0 $\displaystyle{39}$ διαιρεί τον $\displaystyle{10^n -4}$ .

Συνεπώς ο μόνος αριθμός που είναι δυνατόν να ικανοποιεί την εκφώνηση του προβλήματος είναι εξαψήφιος.

Επομένως θεωρούμε τον αριθμό $\displaystyle{XYZABC}$ και από αυτόν κατασκευάζουμε τον $\displaystyle{CXYZAB}$

Θέλουμε να ισχύει ότι: $\displaystyle{CXYZAB = 4(XYZABC)}$ , (1)

Είναι τώρα φανερό ότι ο $\displaystyle{X}$ θα πρέπει να είναι ή $\displaystyle{1}$ ή $\displaystyle{2}$ (αλλιώς καταλήγουμε σε άτοπο)

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{X =1}$

Τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{C1YZAB = 4(1YZABC)}$ .
Για $\displaystyle{C = 4}$ παίρνουμε: $\displaystyle{41YZAB =4(1YZAB4)\Rightarrow }$
$\displaystyle{4.10^5 +1.10^4 +Y .10^3 +Z .10^2 +A .10 +B = 4.(1.10^5 +Y .10^4 +Z.10^3 +A.10^2 +B.10+4)\Rightarrow}$
$\displaystyle{256=1000Y +100Z +10A +B}$ . Από εδώ βρίσκουμε ότι πρέπει υποχρεωτικά να είναι $\displaystyle{Y=0, Z=2 , A=5 , B=6}$
Άρα στην περίπτωση αυτή έχουμε τον αριθμό $\displaystyle{102564}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{X=2}$

Εργαζόμαστε όπως και στην πρώτη περίπτωση και βρίσκουμε τον αριθμό $\displaystyle{205128}$

Συνεπώς το πρόβλημα έχει δύο λύσεις, τους αριθμούς : $\displaystyle{102564}$ kai $\displaystyle{205128}$

Τόλης · #8

Κύριε Δημήτρη, υπάρχουν άλλοι δυο τρόποι επίλυσης για την συγκεκριμένη άσκηση, ωστόσο ο τρόπος επίλυσης σας είναι ο πιο όμορφος μέχρι στιγμής.
Όταν γυρίσω θα ανεβάσω και τους άλλους δύο τρόπους.

Τόλης · #9

Να ένας τρόπος λύσης που ανταποκρίνεται πιο πολύ στα πλαίσια της Α΄ Γυμνασίου.

Το τελευταίο ψηφίο αφού γίνεται πρώτο και ο αριθμός τετραπλασιάζεται δεν μπορεί αυτό να είναι μικρότερο του

αφού οι δύο αριθμοί είναι ισοψήφιοι.

Έστω ότι το τελευταίο ψηφίο είναι

.
Οπότε έστω A=.........4

.
Άρα $4\cdot A=4.........$ .

Ένας άλλος τρόπος αναπαράστασης είναι ο εξής:
..........4
χ 4
________
4........6

Από εδώ βλέπουμε ότι το

, που είναι τελευταίο στον τετραπλάσιο είναι προτελευταίο στον αρχικό, άρα

..........64
x 4
__________
...........56

Εδώ το

είναι τρίτο από το τέλος στον αρχικό.

.......564
x 4
_______
.......256

Όμοια το

τέταρτο από το τέλος στον αρχικό.

Και συνεχίζει μέχρι να βρούμε το

χωρίς κρατούμενο.

Άρα ο αριθμός είναι ο 102564

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εννοείται ότι η λύση του κύριου Δημήτρη Ιωάννου είναι πολύ πιο όμορφη και πολύ καλύτερη.

#10

Θα πρέπει επίσης να πούμε ότι πιθανόν να υπάρχουν και άλλοι αριθμοί που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του προβλήματος, που να
έχουν περισσότερα από $\displaystyle{6}$ ψηφία και συγκεκριμένα είναι δυνατόν να βρούμε τέτοιους αριθμούς με $\displaystyle{12}$ , ή $\displaystyle{18}$ ή γενικά
με $\displaystyle{6n}$ ψηφία. Και αυτό επειδή ισχύει $\displaystyle{10^{6n-1}=4mod39}$ , για κάθε $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο.

Συνεπώς Τόλη, καλύτερα από την αρχή να δινόταν στην εκφώνηση ότι ο ζητούμενος αριθμός θέλουμε να έχει το πολύ $\displaystyle{6}$ ψηφία.

Τόλης · #11

Συμφωνώ απολύτως κύριε Δημήτρη Ιωάννου. Ένας άλλος τρόπος θα ήτανε να πούμε ότι, ο αριθμός που προκύπτει είναι ο μικρότερος δυνατός.

Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Re: Βρες τον αριθμό με αλλαγή!

Μέλη σε σύνδεση