Ο εκκεντρικός μαθηματικός

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4443
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Νοέμ 16, 2022 2:23 am

Ο Γιώργος έχει \displaystyle{2} παιδιά , ο Φώτης \displaystyle{13} και έχουν γείτονα κάποιον μαθηματικό που έχει κότες στην αυλή του. Μια μέρα αποφάσισε να τους δώσει στον καθένα αβγά, ανάλογα με τον αριθμό των παιδιών τους.
Στον Γιώργο έδωσε \displaystyle{16} αβγά και μετά από μία εβδομάδα, διαπίστωσε ότι αυτός κατανάλωσε έναν πρώτο φυσικό αριθμό αβγών, λιγότερα από αυτά που κατανάλωσε ο Φώτης. Με έναν υπολογισμό που έκανε, βρήκε ότι αν τους ξαναδώσει αβγά, αλλά αυτή την φορά αντιστρόφως ανάλογα με τον αριθμό των παιδιών τους, τότε θα βρεθούν να έχουν από ίσο αριθμό αβγών .

(α) Από πόσα αβγά έδωσε στον καθένα την δεύτερη φορά;
(β) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός αβγών που θα μπορούσε να είχε καταναλώσει ο Φώτης μέσα στην εβδομάδα εκείνη;



Λέξεις Κλειδιά:
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Δευ Νοέμ 21, 2022 3:46 pm

Edit: Δόθηκε διευκρίνηση στην εκφώνηση, ως προς τη διατύπωση.
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Τετ Νοέμ 23, 2022 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4443
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Νοέμ 23, 2022 7:31 am

Henri van Aubel έγραψε:
Δευ Νοέμ 21, 2022 3:46 pm
Γειά σας!! Μία προσέγγιση .
Ο Φώτης πήρε 104 αυγά . Ο Γιώργος κατανάλωσε x αυγά και ο Φώτης κατανάλωσε y> x αυγά. Έστω ότι μετά ο Γιώργος έλαβε 13\alpha αυγά και ο Φώτης έλαβε 2\alpha αυγά, για κάποιον θετικό ακέραιο \alpha . Έχουμε την πολύ απλή εξίσωση 16-x+13\alpha =104-y+2\alpha .
Συνεπώς έχουμε y-x\leqslant 77, όμως ισχύει και ότι x\leqslant 13, άρα y\leqslant 90. Επομένως ο Φώτης κατανάλωσε το πολύ 90 αυγά.
Καλημέρα.
Μια διευκρίνηση :
Στην εκφώνηση του προβλήματος, εκεί που γράφω : " κατανάλωσε έναν πρώτο φυσικό αριθμό αβγών λιγότερα από αυτά που κατανάλωσε ο Φώτης" , εννοώ ότι αν ο Φώτης κατανάλωσε ψ αβγά, τότε ο Γιώργος κατανάλωσε ψ-ω αβγά, όπου ω είναι πρώτος αριθμός, και όχι ότι ο Γιώργος κατανάλωσε πρώτο αριθμό αβγών.
Αν γράψεις την λύση συνάδελφε, διατύπωσε την με τέτοιον τρόπο που να είναι κατανοητός και από μικρούς μαθητές.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Τετ Νοέμ 23, 2022 1:36 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 7:31 am
Henri van Aubel έγραψε:
Δευ Νοέμ 21, 2022 3:46 pm
Γειά σας!! Μία προσέγγιση .
Ο Φώτης πήρε 104 αυγά . Ο Γιώργος κατανάλωσε x αυγά και ο Φώτης κατανάλωσε y> x αυγά. Έστω ότι μετά ο Γιώργος έλαβε 13\alpha αυγά και ο Φώτης έλαβε 2\alpha αυγά, για κάποιον θετικό ακέραιο \alpha . Έχουμε την πολύ απλή εξίσωση 16-x+13\alpha =104-y+2\alpha .
Συνεπώς έχουμε y-x\leqslant 77, όμως ισχύει και ότι x\leqslant 13, άρα y\leqslant 90. Επομένως ο Φώτης κατανάλωσε το πολύ 90 αυγά.
Καλημέρα.
Μια διευκρίνηση :
Στην εκφώνηση του προβλήματος, εκεί που γράφω : " κατανάλωσε έναν πρώτο φυσικό αριθμό αβγών λιγότερα από αυτά που κατανάλωσε ο Φώτης" , εννοώ ότι αν ο Φώτης κατανάλωσε ψ αβγά, τότε ο Γιώργος κατανάλωσε ψ-ω αβγά, όπου ω είναι πρώτος αριθμός, και όχι ότι ο Γιώργος κατανάλωσε πρώτο αριθμό αβγών.
Αν γράψεις την λύση συνάδελφε, διατύπωσε την με τέτοιον τρόπο που να είναι κατανοητός και από μικρούς μαθητές.
Συνάδελφε, ευχαριστώ πολύ για τη διευκρίνηση!!


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Τετ Νοέμ 23, 2022 1:40 pm

Ξεκινάω από την εξίσωση 16-x+13\alpha =104-y+2\alpha \Leftrightarrow y-x=11\left ( 8-\alpha \right )=\pi o\lambda \lambda .11
Αφού το y-x είναι πρώτος, έπεται ότι y-x=11
Συνεπώς έχουμε 8-\alpha =1\Leftrightarrow \alpha =7, άρα τη δεύτερη φορά ο Γιώργος πήρε 91 και ο Φώτης πήρε 14 αυγά.
Ο Φώτης κατανάλωσε το πολύ 11+13=24 αυγά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4443
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Ο εκκεντρικός μαθηματικός

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Νοέμ 23, 2022 4:10 pm

Γράφω αναλυτικά την λύση, μιας και πρόκειται για θέμα Α Γυμνασίου:

Με βάση το πρόβλημα, ο Γιώργος πήρε στην αρχή \displaystyle{16} αβγά και ο Φώτης, ας υποθέσουμε ότι πήρε \displaystyle{x} αβγά. Επειδή τα ποσά αυτά

είναι ανάλογα με τον αριθμό των παιδιών τους, θα πρέπει \displaystyle{\frac{16}{2} = \frac{x}{13}}, δηλαδή \displaystyle{8 = \frac{x}{13}} και άρα \displaystyle{x = 104}

Άρα ο Φώτης πήρε αρχικά \displaystyle{104} αβγά.

Αν τώρα ο Φώτης κατανάλωσε \displaystyle{y} αβγά, τότε ο Γιώργος, (με βάση το πρόβλημα) κατανάλωσε \displaystyle{y - m} αβγά, όπου ο \displaystyle{m} είναι ένας πρώτος

φυσικός αριθμός.

Την δεύτερη φορά έστω ότι ο μαθηματικός έδωσε \displaystyle{a} αβγά στον Γιώργο και \displaystyle{b} αβγά στον Φώτη. Τώρα όμως, τα ποσά είναι αντιστρόφως

ανάλογα με τον αριθμό των παιδιών τους. Άρα θα πρέπει: \displaystyle{2a = 13b}, δηλαδή \displaystyle{\frac{a}{13} = \frac{b}{2}}. Ας ονομάσουμε με \displaystyle{k} τους ίσους

αυτούς λόγους. Δηλαδή: \displaystyle{\frac{a}{13} = \frac{b}{2} = k}. Τότε \displaystyle{a = 13k} και \displaystyle{b = 2k}, όπου ο \displaystyle{k} είναι ένας θετικός ακέραιος.

(ΣΗΜ: Ο \displaystyle{k} πρέπει πράγματι να είναι ένας θετικός ακέραιος, διότι από την ισότητα \displaystyle{2a = 13b} έπεται ότι ότι \displaystyle{a = \frac{13b}{2}} και

αφού ο \displaystyle{a} είναι θετικός ακέραιος, θα πρέπει ο \displaystyle{2} να διαιρεί τον \displaystyle{b} , εφόσον οι αριθμοί \displaystyle{2} και \displaystyle{13} είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Άρα αφού \displaystyle{k = \frac{b}{2}} προκύπτει ότι ο \displaystyle{k} είναι θετικός ακέραιος) .

Γνωρίζουμε τώρα ότι στο τέλος βρέθηκαν να έχουν τον ίδιο αριθμό αβγών.

Τα αβγά που έχει στο τέλος ο Γιώργος, είναι όσα του έδωσε ο μαθηματικός στην αρχή, συν όσα του έδωσε στο τέλος, μείον αυτά που κατανάλωσε.

Δηλαδή ο Γιώργος έχει στο τέλος: \displaystyle{16 + 13k - (y-m)} αβγά.

Και ομοίως ο Φώτης θα έχει : \displaystyle{104 +2k - y} αβγά.

Άρα θα πρέπει: \displaystyle{16 + 13k -(y-m) = 104 + 2k -y}, δηλαδή:

\displaystyle{16 +13k - y + m = 104 +2k - y}, και άρα:

\displaystyle{13k - 2k + m = 104 - y - 16 + y}, ή \displaystyle{11k + m = 88} και άρα \displaystyle{m=88 - 11k}, δηλαδή \displaystyle{m = 11(8 - k)}.

Δίνεται όμως ότι ο \displaystyle{m} είναι πρώτος. Άρα πρέπει \displaystyle{8 - k =1} , δηλαδή \displaystyle{k = 7} και \displaystyle{m = 11}.

Συνεπώς την δεύτερη φορά πήραν ο μεν Γιώργος \displaystyle{13 . 7 = 91} αβγά, ο δε Φώτης \displaystyle{2 . 7 = 14} αβγά.

Για να απαντήσουμε στο (β) ερώτημα, σκεφτόμαστε ως εξής:

Αφού ο Γιώργος κατανάλωσε \displaystyle{y - 11} αβγά, θα πρέπει αυτά που κατανάλωσε να μην υπερβαίνουν τον αρχικό αριθμό αβγών που είχε

Άρα πρέπει \displaystyle{y - 11 \leq 16}, δηλαδή \displaystyle{y \leq 27}

Συνεπώς ο μέγιστος αριθμός των αβγών που θα μπορούσε να καταναλώσει ο Φώτης, ήταν \displaystyle{27} (και τότε ο Γιώργος θα κατανάλωνε \displaystyle{27 - 11}

δηλαδή 16 αβγά, δηλαδή όλα όσα του είχαν δοθεί από την αρχή.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης