Ο αριθμός από έναν διαιρέτη του

[Mihalis_Lambrou]

Ο μεγαλύτερος γνήσιος διαιρέτης ενός αριθμού είναι ο . Ποιος είναι ο αριθμός;

(Γνήσιος διαιρέτης ενός αριθμού είναι ένας διαιρέτης του διαφορετικός από τον ίδιο τον αριθμό.)

[stranger]

Ο αριθμός είναι 2000(γιατί;).

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά.

Να 'σαι καλά.

Θέλει βέβαια απόδειξη ο ισχυρισμός, που είναι μεν σχετικά απλή (άλλωστε τοποθέτησα την άσκηση στον φάκελο της Α Γυμνασίου)
αλλά έχει το ενδιαφέρον της.

Αφού μπει η απόδειξη, θα βάλω παραλλαγές της άσκησης.

[stranger]

Έστω αυτός ο αριθμός.
Τότε , όπου φυσικός αριθμός.

Έστω ένας πρώτος αριθμός που διαιρεί τον .

Αν , τότε ο αριθμός θα διαιρεί τον και ο είναι μεγαλύτερος του .

Άρα .

Όμως ο δεν διαιρεί τον , το οποίο είναι άτοπο.

Άρα .

Άρα .

Έχουμε .

Οπότε ο αριθμός διαιρεί τον και .

Οπότε .

[Mihalis_Lambrou]

Ο μεγαλύτερος γνήσιος διαιρέτης ενός αριθμού είναι ο . Ποιος είναι ο αριθμός;

Άλλος τρόπος, προσιτός για μαθητές Α' Γυμνασίου (όπου και ο φάκελος).

Αν ο διαιρεί τον αριθμό τότε και ο τον διαιρεί. Αλλά ο είναι προφανώς ο μικρότερος διαιρέτης (πλην του ) του αριθμού. Αλλά οι διαιρέτες πάνε ανά ζεύγη "μικρότερος με τον μεγαλύτερο", "δεύτερος μικρότερος με τον δεύτερο μεγαλύτερο" και λοιπά που το γινόμενο του κάθε ζεύγους είναι ο αριθμός (αιτιολογείστε το απλό αυτό βήμα). Άρα ο αριθμός μας είναι ο

(μικρότερος διαιρέτης) χ (μεγαλύτερο διαιρέτη)

[KARKAR]

Τα γνήσια πολλαπλάσια του είναι οι : .

Για τον καθένα από αυτούς - πλην του - το μισό του είναι ακέραιος και

μεγαλύτερος του και φυσικά τον διαιρεί . Άρα ο αριθμός μας είναι το .