Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

aggeliki260807
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 23, 2020 9:35 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη Καλαμαριά

Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από aggeliki260807 » Παρ Μάιος 29, 2020 12:42 pm

Εάν ο αριθμός \displaystyle{2^{100}} έχει \displaystyle{31} ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο \displaystyle{5^{100}} ;





ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το \displaystyle{2^{100}} με το \displaystyle{5^{100}} έτσι ώστε να μας κάνει \displaystyle{10^{100}} και να ξέρουμε ότι ο αριθμός αυτός έχει \displaystyle{100} μηδενικά \displaystyle{+} το \displaystyle{1} από μπροστά \displaystyle{101} ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη \displaystyle{2^{100}} που έχει \displaystyle{31} ψηφία άρα με την αφαίρεση \displaystyle{101-31=70}, ο \displaystyle{5^{100}} θα έχει \displaystyle{70} ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εάν είναι σωστός ο τρόπος μου

ΣΗΜ: Παρέμβαση για γραφή με LATEX
τελευταία επεξεργασία από aggeliki260807 σε Παρ Μάιος 29, 2020 1:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


:logo: No one can take knowledge away from you :logo:

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 30, 2020 1:02 pm

aggeliki260807 έγραψε:
Παρ Μάιος 29, 2020 12:42 pm
Εάν ο αριθμός 2 εις την 100 (είναι η δύναμη ) έχει 31 ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο 5 εις την 100





ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το 2 εις την εκατό με το 5 εις την εκατό έτσι ώστε να μας κάνει 10 εις την εκατό και να ξέρουμε οτι ο αριθμός αυτος έχει 100 μηδενικά + το 1 από μπροστά 101 ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη 2 εις την 100 που εχει 31 ψηφία αρα με την αφαίρεση 101-31=70 ο 5 εις την 100 θα εχει 70 ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εαν είναι σωστός ο τρόπος μου
Το αποτέλεσμα είναι σωστό.
Ο τρόπος δεν είναι σωστός γενικά.
π.χ είναι 11.101=1111 και 99.999=98901
Εκτός αν άλλο εννοείς.

Για να βρεις με σωστό τρόπο το αποτέλεσμα χρησιμοποίησε το εξής

Ο αριθμός x που δεν είναι δύναμη του 10 έχει k ψηφία αν και μόνο αν είναι

 10^{k-1}<x<10^k .

Καλό είναι να γράφεις σε Tex.
Δεν είναι κάτι δύσκολο.


4ptil
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Σάβ Μάιος 30, 2020 8:51 pm

aggeliki260807 έγραψε:
Παρ Μάιος 29, 2020 12:42 pm
Εάν ο αριθμός 2 εις την 100 (είναι η δύναμη ) έχει 31 ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο 5 εις την 100





ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το 2 εις την εκατό με το 5 εις την εκατό έτσι ώστε να μας κάνει 10 εις την εκατό και να ξέρουμε οτι ο αριθμός αυτος έχει 100 μηδενικά + το 1 από μπροστά 101 ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη 2 εις την 100 που εχει 31 ψηφία αρα με την αφαίρεση 101-31=70 ο 5 εις την 100 θα εχει 70 ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εαν είναι σωστός ο τρόπος μου
Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα :lol: . Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι 30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow
30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow
  \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}
άρα \log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70) επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία :geek:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 30, 2020 10:00 pm

4ptil έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 8:51 pm
Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα :lol: . Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι 30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow 
30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow 
  \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}
άρα \log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70) επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία :geek:
Δεν είναι ανάγκη να κάνουμε τόσο δύσκολο επιχείρημα για κάτι απλό. Άλλωστε οι λογάριθμοι είναι εκτός ύλης της Α Γυμνασίου.

Τον σωστό τρόπο τον υπέδειξε ο Σταύρος παραπάνω αλλά δεν φαίνεται να έγινε κατανοητός. Γράφω τα ίδια αλλά αναλυτικότερα.

Η άσκηση μας λέει ότι 10^{30} < 2^{100} < 10^{31}. Πολλαπλασιάζουμε επί 5^{100}, οπότε

5^{100} \cdot 10^{30} < 10^{100} < 5^{100}\cdot 10^{31}

H αριστερή δίνει 5^{100}  < 10^{70} και η δεξιά  10^{69} < 5^{100}, δηλαδή  10^{69} < 5^{100}< 10^{70} .

Άρα το 5^{100} έχει 70 ψηφία.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Μάιος 30, 2020 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


4ptil
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Σάβ Μάιος 30, 2020 10:06 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 10:00 pm
4ptil έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 8:51 pm
Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα :lol: . Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι 30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow 
30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow 
  \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}
άρα \log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70) επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία :geek:
Δεν είναι ανάγκη να κάνουμε τόσο δύσκολο επιχείρημα για κάτι απλό. Άλλωστε οι λογάριθμοι είναι εκτός ύλης της Α Γυμνασίου.

Τον σωστό τρόπο τον υπέδειξε ο Σταύρος παραπάνω αλλά δεν φαίνεται να έγινε κατανοητός. Γράφω τα ίδια αλλά αναλυτικότερα.

Η άσκηση μας λέει ότι 10^{30} < 2^{100} < 10^{31}. Πολλαπλασιάζουμε επί 5^{100}, οπότε

5^{100} \cdot 10^{30} < 10^{100} < 5^{100}\cdot 10^{31}

H αριστερή δίνει 5^{100}  < 10^{70} < 5^{100} και η δεξιά  10^{69} < 5^{100}, δηλαδή  10^{69} < 5^{100}< 10^{70} .

Άρα το 5^{100} έχει 70 ψηφία.
:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης