Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Νοέμ 11, 2018 4:30 pm

Να συγκριθεί το άθροισμα K=\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{36}+...+\dfrac{1}{100} με το 1.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2622
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:44 pm

Θα εφαρμόσουυμε την ιδέα του Gauss

Από το 34 έως το 66 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το 34-33=1 έως το 66-33=33, δηλ. 33.

Ομοίως, από το 68 έωςτο 100 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το 68-67=1 έως το 100-67=33, δηλ. 33.

Μπορούμε πάρουμε 33 ζευγάρια, αν ζευγαρώσουμε το \dfrac{1}{34} με το \dfrac{1}{100}, το \dfrac{1}{35} με το \dfrac{1}{99},..., \dfrac{1}{66} με το \dfrac{1}{68}, για να πάρουμε

 
\begin{aligned} 
K&=\left(\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{100}\right)+\left(\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{99}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{66}+\dfrac{1}{68}\right)+\dfrac{1}{67}\\ 
&>\dfrac{2}{67}+\dfrac{2}{67}+\cdots +\dfrac{2}{67}+\dfrac{1}{67}\\ 
&=\dfrac{2\cdot 33+1}{67}\\ 
&=1 
\end{align}

αφού \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}>\frac{4}{x+y} για x>y>0

Φιλικά,

Αχιλλέας


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Δεκ 09, 2018 3:15 pm

Μια άλλη λύση, με κάποιες πράξεις, βασίζεται στο ότι από δύο ή περισσότερα κλάσματα με ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο παρανομαστή. Έτσι

\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+...+\dfrac{1}{40}>\dfrac{7}{40}=0,175

\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}>\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}=0,2

\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}>\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}>0,16

\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{70}>\dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}>0,14

\dfrac{1}{71}+\dfrac{1}{72}+...+\dfrac{1}{80}>\dfrac{10}{80}=\dfrac{1}{8}=0,125

\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{82}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}=0,2

Όμως 0,175+0,2+0,16+0,14+0,125+0,2=1 οπότε το άθροισμα όλων των κλασμάτων ξεπερνάει τη μονάδα.

Σχόλιο Η άσκηση αυτή λύνει το 3ο θέμα της α΄ λυκείου του φετινού Θαλή,κάτι που έδειξε ήδη ο Σωτήρης Λουρίδας εδώ. Ο Σωτήρης δίνει εκεί μία άλλη απόδειξη.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης