Πόσα αναψυκτικά;

Γιώργος Απόκης · #1

Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν $\displaystyle{15}$ κορίτσια και $\displaystyle{7}$ αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά $\displaystyle{111}$ αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;

#2

Θα πρότεινα στα κορίτσια να μετρήσουν το σάκχαρό τους. Με τόσα αναψυκτικά...

Γιώργος Απόκης · #3

george visvikis έγραψε:Θα πρότεινα στα κορίτσια να μετρήσουν το σάκχαρό τους. Με τόσα αναψυκτικά...

Καλημέρα Γιώργο!

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν $\displaystyle{15}$ κορίτσια και $\displaystyle{7}$ αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά $\displaystyle{111}$ αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;

Παροτρύνω τους μαθητές μας, κατά προτίμηση της Α' Γυμνασίου ή μικρότερους, να κοιτάξουν την άσκηση. Είναι αρκετά απλή και έχει μοναδική λύση.

#5

Αφού έχει μείνει αναπάντητη από μαθητές, ας δώσω μια λύση, πρωτού χαθεί στις "αναπάντητες".

Σίγουρα ο αριθμός των αναψυκτικών που ήπιαν τα κορίτσια είναι μικρότερος του

, αφού $15 \cdot 8 = 120$ , που είναι μεγαλύτερο του συνόλου των αναψυκτικών, που είναι 111

.

Αν τα κορίτσια πιουν από

, εκτός της αναμενόμενης συχνοουρίας που θα παρατηρηθεί, έχουμε πρόβλημα με τη μοιρασιά των αγοριών αφού θα περισσέψουν

αναψυκτικά για

διψασμένα αγόρια. Ξεχάστε το.

Αν τα κορίτσια πιουν από

, στο σύνολο

μένουν

για τα αγόρια, οπότε θα βολευτούν με μόλις

μπουκάλια το κάθε αγόρι. Κάτι γίνεται. Οι κοπέλες πάντως τη συχνοουρία και το αυξημένο σάκχαρο, που λέει κι ο Γιώργος παραπάνω δεν το γλυτώνουν, εκτός και είναι "zero" τα αναψυκτικά.

Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει κι άλλη λύση, οπότε θα τα έχει μουσκέψει ο θεματοδότης - μπάρμπαν.

Τα

μπουκάλια δίνουν $15 \cdot 5 = 75$ . Μένουν

για τα αγόρια. Και πάλι μοιρασιά σωστή δε γίνεται.

Μην τα πολυλογούμε. Είναι $111-15 \cdot 4 = 51, 111-15 \cdot 3 = 66, 111-15 \cdot 2 = 81, 111-15 = 96$ . Κανένα τους δεν είναι πολλαπλάσιο του

, οπότε δεν μας βολεύει. Θα μου πείτε ότι ξέχασα τις περιπτώσεις όπου είτε τα αγόρια είτε τα κορίτσια να κορακιάσουν. Εντάξει… αν και το θεωρώ ανήθικο κάποιοι να ξεδιψούν μέχρι φουσκώματος και κάποιοι να ξεροσταλιάζουν (ακόμα και για αγώνισμα τύπου σαρβάιβορ), εντούτοις, στον κόσμο των μαθηματικών οφείλουμε να το εξετάσουμε!

Ευτυχώς, το 111

δεν διαιρείται ούτε με το

, ούτε με το

, άρα τέτοια περίπτωση δεν τη συζητάμε.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Δίνω και τη λύση με τη γενική μέθοδο ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Μη ξεχνάμε ότι υπάρχει ως ύλη στο βιβλίο της Β΄ Λυκείου.
Αν και σε φάκελο Α΄ Γυμνασίου, δεν είναι φοβερά δύσκολη, ειδικά για μερικούς πολύ προχωρημένους μαθητές.

Θέλουμε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 15x + 7y=111

.

Επειδή ο Μ.Κ.Δ. των 15, 7

είναι ο $\displaystyle \delta = 1$ , που διαιρεί το 111

η εξίσωση έχει λύση.
(Θεώρημα 10 σελ. 172).

Και μάλιστα επειδή $\displaystyle \delta = 1$ , έχει άπειρες λύσεις της μορφής $\displaystyle x = {x_0} + 7t,\;\;y = {y_0} + 15t,\;\;t \in Z$ .

Αναζητάμε την ειδική λύση της εξίσωσης

Εκφράζουμε γραμμικά το Μ.Κ.Δ. των

και

και έχουμε $\displaystyle 1 = 15 \cdot 1 + 7\left( { - 2} \right)$ .

Πολλαπλασιάζουμε με 111

κι έχουμε $\displaystyle 111 = 15 \cdot 111 + 7\left( { - 222} \right)$ .

Μία λύση, λοιπόν είναι x_0=111, y_0=-222

.

Οπότε $\displaystyle x = 111 + 7t,\;\;y = - 222 + 15t,\;\;t \in Z$ .

Θέλουμε $\displaystyle 0 \le x < 8 \Leftrightarrow 0 \le 111 + 7t < 8 \Leftrightarrow - \frac{{111}}{7} \le t < - \frac{{103}}{7}$ , που δίνει t=-15

, οπότε

.

Γιώργος Απόκης · #6

Εξαιρετική η λύση και, κυρίως, το κείμενο Γιώργο!

#7

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν $\displaystyle{15}$ κορίτσια και $\displaystyle{7}$ αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά $\displaystyle{111}$ αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;

Αλλιώς: Είναι 111=15x+7y

, από όπου εύκολα $x\le 7$ (διότι $15\cdot 8 > 111$ ). Άρα

$\displaystyle{y = \frac {111-15x}{7}= 15-2x +\frac {6-x}{7}}$ .

Έπεται ότι ο $\displaystyle{\frac {6-x}{7}}$ πρέπει να είναι ακέραιος. Όμως από τις τιμές

έως

που μπορεί να πάρει ο

, μόνο ο

δίνει ακέραιο τον $\displaystyle{\frac {6-x}{7}}$ . Άρα x=6

, και λοιπά.

#8

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν $\displaystyle{15}$ κορίτσια και $\displaystyle{7}$ αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά $\displaystyle{111}$ αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;

Μια μπακαλίστικη λύση ;

Πίνουν όλοι αγόρια και κορίτσια από ένα αναψυκτικό δηλαδή συνολικά

.

Επειδή 111 - 22 = 89

δεν είναι πολλαπλάσιο ούτε του

ούτε του

έχουμε

«δεύτερο γύρο» τώρα έχουν καταναλωθεί συνολικά

αναψυκτικά αλλά

111 - 44 = 67

που πάλι δεν είναι πολλαπλάσιο του

ή του

.

Στον «τρίτο γύρο» έχουν καταναλωθεί

αναψυκτικά και επειδή

$111 - 66 = 45 = 15 \cdot 3$ τα υπόλοιπα αναψυκτικά τα πίνουν μόνο κορίτσια από

κάθε

ένα κορίτσι.

Γιώργος Απόκης · #9

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις!

Πόσα αναψυκτικά;

Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Re: Πόσα αναψυκτικά;

Μέλη σε σύνδεση