Πόσα αναψυκτικά;

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Πόσα αναψυκτικά;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 08, 2017 8:37 am

Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν \displaystyle{15} κορίτσια και \displaystyle{7} αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά \displaystyle{111} αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8077
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:27 am

Θα πρότεινα στα κορίτσια να μετρήσουν το σάκχαρό τους. Με τόσα αναψυκτικά... :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:43 am

george visvikis έγραψε:Θα πρότεινα στα κορίτσια να μετρήσουν το σάκχαρό τους. Με τόσα αναψυκτικά... :lol:
:lol: Καλημέρα Γιώργο!


Γιώργος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:28 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν \displaystyle{15} κορίτσια και \displaystyle{7} αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά \displaystyle{111} αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;
Παροτρύνω τους μαθητές μας, κατά προτίμηση της Α' Γυμνασίου ή μικρότερους, να κοιτάξουν την άσκηση. Είναι αρκετά απλή και έχει μοναδική λύση.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιούλ 12, 2017 9:11 pm

Αφού έχει μείνει αναπάντητη από μαθητές, ας δώσω μια λύση, πρωτού χαθεί στις "αναπάντητες".

Σίγουρα ο αριθμός των αναψυκτικών που ήπιαν τα κορίτσια είναι μικρότερος του 8, αφού 15 \cdot 8 = 120, που είναι μεγαλύτερο του συνόλου των αναψυκτικών, που είναι 111.

Αν τα κορίτσια πιουν από 7, εκτός της αναμενόμενης συχνοουρίας που θα παρατηρηθεί, έχουμε πρόβλημα με τη μοιρασιά των αγοριών αφού θα περισσέψουν 6 αναψυκτικά για 7 διψασμένα αγόρια. Ξεχάστε το.

Αν τα κορίτσια πιουν από 6, στο σύνολο 90 μένουν 21 για τα αγόρια, οπότε θα βολευτούν με μόλις 3 μπουκάλια το κάθε αγόρι. Κάτι γίνεται. Οι κοπέλες πάντως τη συχνοουρία και το αυξημένο σάκχαρο, που λέει κι ο Γιώργος παραπάνω δεν το γλυτώνουν, εκτός και είναι "zero" τα αναψυκτικά.

Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει κι άλλη λύση, οπότε θα τα έχει μουσκέψει ο θεματοδότης - μπάρμπαν.

Τα 5 μπουκάλια δίνουν 15 \cdot 5 = 75. Μένουν 36 για τα αγόρια. Και πάλι μοιρασιά σωστή δε γίνεται.

Μην τα πολυλογούμε. Είναι 111-15 \cdot 4 = 51,  111-15 \cdot 3 = 66, 111-15 \cdot 2 = 81, 111-15 = 96. Κανένα τους δεν είναι πολλαπλάσιο του 7, οπότε δεν μας βολεύει. Θα μου πείτε ότι ξέχασα τις περιπτώσεις όπου είτε τα αγόρια είτε τα κορίτσια να κορακιάσουν. Εντάξει… αν και το θεωρώ ανήθικο κάποιοι να ξεδιψούν μέχρι φουσκώματος και κάποιοι να ξεροσταλιάζουν (ακόμα και για αγώνισμα τύπου σαρβάιβορ), εντούτοις, στον κόσμο των μαθηματικών οφείλουμε να το εξετάσουμε!

Ευτυχώς, το 111 δεν διαιρείται ούτε με το 7, ούτε με το 15, άρα τέτοια περίπτωση δεν τη συζητάμε.



ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Δίνω και τη λύση με τη γενική μέθοδο ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Μη ξεχνάμε ότι υπάρχει ως ύλη στο βιβλίο της Β΄ Λυκείου.
Αν και σε φάκελο Α΄ Γυμνασίου, δεν είναι φοβερά δύσκολη, ειδικά για μερικούς πολύ προχωρημένους μαθητές.

Θέλουμε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 15x + 7y=111.

Επειδή ο Μ.Κ.Δ. των 15, 7 είναι ο \displaystyle \delta  = 1 , που διαιρεί το 111 η εξίσωση έχει λύση.
(Θεώρημα 10 σελ. 172).

Και μάλιστα επειδή \displaystyle \delta  = 1 , έχει άπειρες λύσεις της μορφής \displaystyle x = {x_0} + 7t,\;\;y = {y_0} + 15t,\;\;t \in Z.

Αναζητάμε την ειδική λύση της εξίσωσης

Εκφράζουμε γραμμικά το Μ.Κ.Δ. των 15 και 7 και έχουμε \displaystyle 1 = 15 \cdot 1 + 7\left( { - 2} \right).

Πολλαπλασιάζουμε με 111 κι έχουμε \displaystyle 111 = 15 \cdot 111 + 7\left( { - 222} \right) .

Μία λύση, λοιπόν είναι x_0=111, y_0=-222.

Οπότε \displaystyle x = 111 + 7t,\;\;y =  - 222 + 15t,\;\;t \in Z .

Θέλουμε \displaystyle 0 \le x < 8 \Leftrightarrow 0 \le 111 + 7t < 8 \Leftrightarrow  - \frac{{111}}{7} \le t <  - \frac{{103}}{7} , που δίνει t=-15, οπότε x = 6, y = 3.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Ιούλ 12, 2017 10:53 pm

:clap2:
Εξαιρετική η λύση και, κυρίως, το κείμενο Γιώργο!


Γιώργος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 12, 2017 11:56 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν \displaystyle{15} κορίτσια και \displaystyle{7} αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά \displaystyle{111} αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;
Αλλιώς: Είναι 111=15x+7y, από όπου εύκολα x\le 7 (διότι 15\cdot 8 > 111). Άρα

\displaystyle{y = \frac {111-15x}{7}= 15-2x +\frac {6-x}{7}}.

Έπεται ότι ο \displaystyle{\frac {6-x}{7}} πρέπει να είναι ακέραιος. Όμως από τις τιμές 0 έως 7 που μπορεί να πάρει ο x, μόνο ο x=6 δίνει ακέραιο τον \displaystyle{\frac {6-x}{7}}. Άρα x=6, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 13, 2017 1:15 am

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε ένα παιδικό πάρτυ, βρέθηκαν \displaystyle{15} κορίτσια και \displaystyle{7} αγόρια. Όλα τα αγόρια ήπιαν τον ίδιο αριθμό

αναψυκτικών, και όλα τα κορίτσια επίσης. Αν καταναλώθηκαν συνολικά \displaystyle{111} αναψυκτικά,

πόσα ήπιε κάθε κορίτσι και πόσα κάθε αγόρι;

Μια μπακαλίστικη λύση ;

Πίνουν όλοι αγόρια και κορίτσια από ένα αναψυκτικό δηλαδή συνολικά 22.

Επειδή 111 - 22 = 89 δεν είναι πολλαπλάσιο ούτε του 15 ούτε του 7 έχουμε

«δεύτερο γύρο» τώρα έχουν καταναλωθεί συνολικά 44 αναψυκτικά αλλά

111 - 44 = 67 που πάλι δεν είναι πολλαπλάσιο του 15 ή του 7.

Στον «τρίτο γύρο» έχουν καταναλωθεί 66 αναψυκτικά και επειδή

111 - 66 = 45 = 15 \cdot 3 τα υπόλοιπα αναψυκτικά τα πίνουν μόνο κορίτσια από 3 κάθε

ένα κορίτσι.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πόσα αναψυκτικά;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Ιούλ 13, 2017 8:45 am

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις!


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης