Φυσικός n

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό

, για τον οποίο ισχύει:

$3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003}$

Για μαθητές μέχρι αύριο. (Άσκηση του 2008)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό , για τον οποίο ισχύει:

$3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003}$

Για μαθητές μέχρι αύριο. (Άσκηση του 2008)

Επαναφορά!

nikos_el · #3

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

nikos_el έγραψε:

Σωστά συνονόματε!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Θα γράψω αναλυτική λύση:

$3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003} \Rightarrow 3^{n-1}=4\cdot 3^{2006}-3^{2006}$ $\Rightarrow 3^{n-1}=3^{2007} \Rightarrow n-1=2007 \Rightarrow \boxed{n=2008}$

Ορέστης Λιγνός · #6

Η σημασία της λεπτομέρειας.

Στον φετινό Αρχιμήδη έγραψα όλα τα θέματα. Ημουν σίγουρος ότι θα πάρω 20!

Βγήκαν τα αποτελέσματα και πήρα 19. Τάχασα, θύμωσα και είπα θα πάω κάτω στην Ε.Μ.Ε και θα γίνει χαμός.
Περίμενα πρώτα να βγούν οι επίσημες απαντήσεις και μόλις τις είδα κατάλαβα τι είχα
ξεχάσει να θέσω. Τι ήταν αυτό ; Eίχα ξεχάσει να γράψω '' επειδή a>0

... ''
και για αυτό έχασα μία μονάδα !!

Μου είπε ο πατέρας μου ότι καλά έκαναν και σου έκοψαν την μονάδα, γιατί στα
Μαθηματικά τα ΠΑΝΤΑ εξηγούνται ΤΙΠΟΤΑ δεν εννοείται και ΠΑΝΤΑ '' πατάμε '' πάνω
στα θεωρήματα.

Γιατί τα γράφω όλα αυτά ;

Κοιτάξτε την λύση του Νικόλα. Πιστεύει ότι την έλυσε σωστά, αυτό γράφει και το βιβλίο
από όπου πήρε την άσκηση και αγνοεί την λεπτομέρεια ... που θα του πάρει το '' κεφάλι ''
όπως το πήρε και σε μένα.

Γράφει λοιπόν :

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: $\Rightarrow 3^{n-1}=3^{2007} \Rightarrow n-1=2007$

Θα παρακαλούσα τους Μαθηματικούς του mathematica να μας πουν που είναι το λάθος
και τι βαθμό θα έβαζαν στον Νικόλα αν η άσκηση από τον θεματοδότη είχε 10 μόρια.
Έτσι για να ξέρουμε πόσο μας κοστίζει όταν παραλείπουμε να εξηγήσουμε αναλυτικά !

Υ.Γ. Η άσκηση για να λυθεί πλήρως χρειάζεται ύλη Β’ Λυκείου. Ο Νικόλας μη γνωρίζοντας τις απατήσεις που έχει την έβαλε στην Α’ Γυμνασίου.

Δεν πρέπει όμως να δεχόμαστε ημιτελής λύσεις γιατί έτσι αφήνουμε τις λεπτομέρειες και συνηθίζουμε να μην είμαστε αυστηροί στις αποδείξεις μας.
Νικόλα όταν διαβάσεις την ύλη της Β’ Λυκείου θα καταλάβεις.

Προς το παρών σημείωσε το για να το δείς στο μέλλον.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

Ορέστη, σε ευχαριστώ για τη διευκρίνιση.

Μπορείς να μού πεις όμως τι θα πρέπει να δικαιολογώ στη Β' Λυκείου με βάση αυτό το θέμα;

nikos_el · #8

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Ορέστη, σε ευχαριστώ για τη διευκρίνιση.

Μπορείς να μού πεις όμως τι θα πρέπει να δικαιολογώ στη Β' Λυκείου με βάση αυτό το θέμα;

Αν καταλαβαίνω καλά, ο Ορέστης εννοεί ότι θα έπρεπε να πεις: "Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=3^x$ , είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, αφού είναι εκθετική με βάση . Επομένως έχει μοναδική ρίζα". Αν όντως εννοεί αυτό , έχω την εντύπωση ότι δεν είναι απραίτητο να το αναφέρουμε, αφού λύνουμε εξίσωση και όχι ανίσωση.

Τσιαλας Νικολαος · #9

Στην εξίσωση χρείαζεται να αναφέρουμε ότι είναι η εκθετική συνάρτηση 1-1. Σε επίπεδο πανελληνίων χρειάζεται σίγουρα η αναφορά του. Σε επίπεδο μαθηματικών διαγωνισμών δεν γνωρίζω( έχω την εντύπωση πως όχι). Πολύ καλό σχόλιο του Ορέστη πάντως. Μήπως υπάρχει κάποιος που γνωρίζει?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Πραγματικά δεν καταλαβαίνω.
Αυτά τα πράγματα σκοτώνουν τα Μαθηματικά.
Δεν είναι Μαθηματικά είναι τυπολατρία.
Δηλαδή παίρνουμε κάποια θεωρήματα χωρίς απόδειξη τα λέμε στους μαθητές και μετά
τους ζητάμε να τα εφαρμόσουν αφού ελέγξουν τις προυποθέσεις.
Και φτάνουμε στο σημείο να ξέρει ο μαθητής Bolzano-Rolle -ΘΜΤ
Fermat(κανένα σοβαρό ξένο βιβλίο Ανάλυσης δεν το αναφέρει έτσι)
και να μην ξέρει τι είναι ακέραιο μέρος ,γιατί μεταξύ πραγματικών υπάρχει ρητός κλπ.
Οσο για το συγκεκριμένο είναι πολύ πιο προφανές ότι η $3^{x}$ είναι γνησίως αύξουσα από
το ότι το $3^{\sqrt{2}}$ είναι αριθμός.

#11

Καλημέρα σας.

Άλλο πράγμα το να ξεχάσει κανείς έναν περιορισμό μεταβλητής a > 0

, που μπορεί να οδηγεί σε άλλη περίπτωση, και άλλο πράγμα να "ξεχάσεις" να δηλώσεις: " 3 > 1

άρα η συνάρτηση 3^x

αύξουσα δηλαδή 1-1 κ.λπ." . ΔΕΝ βλέπω κάποιο κενό εδώ. ΔΕΝ γνωρίζω από βαθμολόγηση διαγωνισμών, πάντως αδυνατώ να πιστέψω ότι σε μαθηματικό διαγωνισμό χρειάζεται να αναφερθεί κάτι τέτοιο.

Βεβαίως αν ήταν a^x=a^5

θα έπρεπε να διερευνηθούν οι δυνατές τιμές του

, αλλά το

θεωρείται δεδομένο, δίχως ιδιαίτερη αναφορά!

Το μόνο μεμπτό που βλέπω είναι η χρήση συνεπαγωγής κι όχι ισοδυναμίας, που είναι απαραίτητη σε επίλυση εξισώσεων. Το "γιατί" είναι κάτι ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ όλοι οι μαθητές (που θέλουν να κάνουν μαθηματικά) να αναζητήσουν πρωταρχικά.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #12

nikos_el έγραψε: Αν καταλαβαίνω καλά, ο Ορέστης εννοεί ότι θα έπρεπε να πεις: "Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=3^x$ , είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, αφού είναι εκθετική με βάση . Επομένως έχει μοναδική ρίζα". Αν όντως εννοεί αυτό , έχω την εντύπωση ότι δεν είναι απραίτητο να το αναφέρουμε, αφού λύνουμε εξίσωση και όχι ανίσωση.

Νίκο, δεν ξέρω ακόμα συναρτήσεις!

#13

Ορέστη, καλημέρα. Αρχικά να σου δώσω συγχαρητήρια για το 19 που πήρες στον "Αρχιμήδη" που στην ουσία είναι 20 , αφού δεν υπήρχε λάθος ή άγνοια αλλά μια απλή αλλά ουσιαστική παράληψη . Τώρα για την άσκηση που αναφέρεις η οποία καταλήγει στο $\displaystyle{3^{n-1}=3^{2007}}$ , πιστεύω ότι απ ευθείας θα πρέπει να πούμε ότι $\displaystyle{n-1=2007}$ , χωρίς καμιά άλλη εξήγηση αν μας τεθεί παρόμοια άσκηση σε επίπεδο Β Λυκείου. Αν όμως (όπως έγραψε και ο Γιώργος Ρίζος πιο πάνω) ήταν π.χ $\displaystyle{a^{n-1}=a^{2007}}$ , τότε τα πράγματα αλλάζουν και απαιτείται να δούμε τι αριθμός είναι ο

.
Τώρα, για Α Γυμνασίου, πράγματι η άσκηση δεν είναι κατάλληλη, εκτός αν πρώτα τους έχουμε ενημερώσει (χωρίς απόδειξη) πότε
η εξίσωση $\displaystyle{a^x =a^y}$ είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{x=y}$ . (Στο Γυμνάσιο, διδάσκονται πολλά θεωρήματα που μπορούν να χρησιμοποιούν οι μαθητές, χωρίς όμως να δίνεται η απόδειξη των θεωρημάτων αυτών).

Φυσικός n

Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Re: Φυσικός n

Μέλη σε σύνδεση