Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Νοέμ 25, 2016 7:42 pm

Σε πολλά βοηθήματα σε ασκήσεις με υπολογισμό παραστάσεων είτε στους φυσικούς αριθμούς είτε στα κλάσματα παρουσιάζονται παραστάσεις όπως η \frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{7}. Για έναν μαθηματικό όλα είναι οκ αλλά για παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί ακόμα το 7ο κεφάλαιο δηλαδή τους αρνητικούς αριθμούς η παράσταση αυτή της μορφής \alpha -\beta -\gamma είναι λάθος γραμμένη!
Στην πρόσθεση ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα οπότε ισχύει ότι \left( \alpha +\beta \right) +\gamma =\alpha +\left( \beta +\gamma \right) δηλαδή μπορώ να τη γράψω και \alpha +\beta +\gamma (χωρίς παρενθέσεις).
Στην αφαίρεση όμως η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει. δηλαδή \left( \alpha -\beta \right) -\gamma \neq \alpha -\left( \beta -\gamma \right) οπότε δεν μπορώ να την γράψω χωρίς παρενθέσεις : \alpha -\beta -\gamma.
Αλήθεια τι απαντάμε στα παιδιά που την παράσταση 8-4-3 την λύνουν ως 8-4-3=8-1=7 ;;;
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Σάβ Νοέμ 26, 2016 10:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 25, 2016 8:12 pm

ghuyuris έγραψε:Σε πολλά βοηθήματα σε ασκήσεις με υπολογισμό παραστάσεων είτε στους φυσικούς αριθμούς είτε στα κλάσματα παρουσιάζονται παραστάσεις όπως η \frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{7}. Για έναν μαθηματικό όλα είναι οκ αλλά για παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί ακόμα το 7ο κεφάλαιο δηλαδή τους αρνητικούς αριθμούς η παράσταση αυτή της μορφής α - β - γ είναι λάθος γραμμένη!
Στην πρόσθεση ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα οπότε ισχύει ότι (α+β)+γ = α+(β+γ) δηλαδή μπορώ να τη γράψω και α+β+γ (χωρίς παρενθέσεις).
Στην αφαίρεση όμως η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει. δηλαδή (α-β)-γ \neq α-(β-γ) οπότε δεν μπορώ να την γράψω χωρίς παρενθέσεις : α-β-γ.
Αλήθεια τι απαντάμε στα παιδιά που την παράσταση 8-4-3 την λύνουν ως 8-4-3=8-1=7 ????
Καλησπέρα.

Στα παιδιά, που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί το επίμαχο κεφάλαιο, λέμε ότι οι πράξεις γίνονται με τη σειρά

από αριστερά προς τα δεξιά. Δεν επιτρέπονται άλματα. Έτσι:

8-4-3=4-3=1
10-3+6-5=7+6-5=13-5=8

Δεν καταλαβαίνω πώς μπορεί να προκύψει 8-4-3=8-1;;;


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Νοέμ 25, 2016 9:42 pm

Καλησπέρα.

Στα παιδιά, που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί το επίμαχο κεφάλαιο, λέμε ότι οι πράξεις γίνονται με τη σειρά

από αριστερά προς τα δεξιά. Δεν επιτρέπονται άλματα. Έτσι:

8-4-3=4-3=1
10-3+6-5=7+6-5=13-5=8

Δεν καταλαβαίνω πώς μπορεί να προκύψει 8-4-3=8-1;;;
Θα κάνει πρώτα την αφαίρεση 4-3 και όχι την 8-4.
Εξάλλου πως τεκμηριώνεται η από τα "αριστερά προς τα δεξιά" προτεραιότητα των πράξεων? Γιατί δηλαδή προηγείται η αφαίρεση 8-4 και όχι η 4-3???


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 25, 2016 9:51 pm

ghuyuris έγραψε: Θα κάνει πρώτα την αφαίρεση 4-3 και όχι την 8-4.
Εξάλλου πως τεκμηριώνεται η από τα "αριστερά προς τα δεξιά" προτεραιότητα των πράξεων? Γιατί δηλαδή προηγείται η αφαίρεση 8-4 και όχι η 4-3???
Ποιος του έμαθε να κάνει πρώτα την αφαίρεση 4-3; Προηγείται η αφαίρεση 8-4 γιατί έτσι έμαθε να το κάνει

από το Δημοτικό. Όπως γράφουμε από τα αριστερά προς τα δεξιά, έτσι ακριβώς κάνουμε και τις πράξεις.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Νοέμ 25, 2016 10:05 pm

ghuyuris έγραψε:Σε πολλά βοηθήματα σε ασκήσεις με υπολογισμό παραστάσεων είτε στους φυσικούς αριθμούς είτε στα κλάσματα παρουσιάζονται παραστάσεις όπως η \frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{7}. Για έναν μαθηματικό όλα είναι οκ αλλά για παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί ακόμα το 7ο κεφάλαιο δηλαδή τους αρνητικούς αριθμούς η παράσταση αυτή της μορφής α - β - γ είναι λάθος γραμμένη!
Στην πρόσθεση ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα οπότε ισχύει ότι (α+β)+γ = α+(β+γ) δηλαδή μπορώ να τη γράψω και α+β+γ (χωρίς παρενθέσεις).
Στην αφαίρεση όμως η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει. δηλαδή (α-β)-γ \neq α-(β-γ) οπότε δεν μπορώ να την γράψω χωρίς παρενθέσεις : α-β-γ.
Αλήθεια τι απαντάμε στα παιδιά που την παράσταση 8-4-3 την λύνουν ως 8-4-3=8-1=7 ????
Καλό βράδυ. Μια παρόμοια συζήτηση έγινε εδώ:
viewtopic.php?f=33&t=56457


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Νοέμ 25, 2016 10:14 pm

george visvikis έγραψε: Ποιος του έμαθε να κάνει πρώτα την αφαίρεση 4-3; Προηγείται η αφαίρεση 8-4 γιατί έτσι έμαθε να το κάνει
από το Δημοτικό. Όπως γράφουμε από τα αριστερά προς τα δεξιά, έτσι ακριβώς κάνουμε και τις πράξεις.
Βεβαίως και του έχουν υποδείξει τι πρέπει να κάνει ώστε η λύση να ταιριάζει και στα δικά μας μαθηματικά αλλά πιστεύω ότι τέτοιες υποδείξεις μαθηματικώς είναι αβάσιμες και ίσως αντιπαιδαγωγικές.
Θέλω να πω ότι για κάποιον που έχει διδαχθεί τους αρνητικούς αριθμούς έχει νόημα το -4-3. Είναι η πρόσθεση του -3 με το -4. Το "-" είναι το πρόσημο. Για έναν μαθητή όμως πχ του Δημοτικού το "-" είναι η πράξη της αφαίρεσης και όταν έρχεται αντιμέτωπος με την παράσταση 8-4-3 αυτό που πρέπει να δει είναι δύο αφαιρέσεις την 8-4 και την 4-3. Γι αυτόν δεν έχει νόημα το -4. Οπότε αν θέλουμε να προηγηθεί η πρώτη αφαίρεση πρέπει να το γράψουμε ως (8-4)-3.
Γενικά σε πράξεις που δεν ισχύει η προσεταιριστική πιστεύω ότι απαγορεύεται να γράφονται δύο ή περισσότερες διαδοχικές χωρίς παρένθεση.
Πχ δες ένα άλλο παράδειγμα :
πως κάνεις την πράξη 10:5:2??? Και αυτή η μορφή είναι γραμμένη λάθος!! Βγάζει 2:2 =1 ή 10:2,5 = 4


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 25, 2016 10:20 pm

Με την σειρά μου θα έκανα την καλοπροαίρετη πρόταση στον ghuyuris να αφήσει να διδάξουν το συγκεκριμένο θέμα οι Δάσκαλοι ή οι Μαθηματικοί του παιδιού.

Δεν είναι της ώρας να εξηγώ γιατί η διαίσθησή μου με ωθεί σε αυτή την συμβουλή. Με λίγα λόγια φοβάμαι ότι θα κάνουμε μεγαλύτερη ζημιά από καλό στο παιδί αν χειριστούμε μόνοι μας το θέμα.

Έμμεσα το λέει ο Γιώργος εδώ
george visvikis έγραψε: Δεν καταλαβαίνω πώς μπορεί να προκύψει 8-4-3=8-1;;;
και δεν θα μπορούσα να συμφωνήσω περισσότερο.


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Νοέμ 25, 2016 10:57 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με την σειρά μου θα έκανα την καλοπροαίρετη πρόταση στον ghuyuris να αφήσει να διδάξουν το συγκεκριμένο θέμα οι Δάσκαλοι ή οι Μαθηματικοί του παιδιού.
Γεια σου Μιχάλη, είμαι Μαθηματικός σε Γυμνάσιο, έρχομαι σχεδόν κάθε χρόνο αντιμέτωπος με αυτό το ζήτημα και καταλαβαίνω ότι η τεχνική να κάνω τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά δίνει το σωστό αποτέλεσμα παρόλα αυτά στόχος μου είναι η κατανόηση και όχι η αποτελεσματικότητα.
Πέρα απο αυτό συζήτηση να γίνεται.... :coolspeak:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 25, 2016 11:25 pm

Η ιστοσελίδα-blogg που παραπέμπεις είναι εξαιρετική. Ευχαριστούμε.

Όσο για το θέμα που συζητάμε: Αν δούμε το 8-4-3 ή τα ανάλογα, ως 8+(-4)+(-3), που άλλωστε είναι ο ορισμός του, δεν προκύπτει κανένα θέμα παρανόησης από τους μαθητές.

Νομίζω ότι είναι καλύτερα να κρατάμε τα Μαθηματικά στην φυσικότερη μορφή τους για να μην αποκομμίζει ο μαθητής την αίσθηση ότι είναι περίεργα. Στόχος μας πρέπει να είναι μόνο να αγαπήσει τα Μαθηματικά το παιδί, όχι να τα αποστραφεί.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Νοέμ 25, 2016 11:34 pm

Καλό βράδυ σε όλους τους φίλους. Επειδή και εγώ για πάρα πολλά χρόνια διδάσκω σε μαθητές Α Γυμνασίου, πράγματι, πολλοί μαθητές κάνουν το λάθος που γράφει το μέλος μας ghuyuris . Για να αποφεύγουμε τις κακοτοπιές, όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις τους λέμε να κάνουν τις πράξεις με την σειρά που σημειώνονται. Εδώ βέβαια θέλει μεγάλη προσοχή, να τους υπενθυμίσουμε την προτεραιότητα των πράξεων, ώστε να μην μας κάνουν το λάθος π.χ στην παράσταση 7+3.2 και μας γράψουν 7+3.2=10.2=20, επειδή θα κάνουν τις πράξεις με την σειρά που σημειώνονται.
Τελειώνοντας πιστεύω και εγώ, ότι σε πράξεις που δεν είναι εφοδιασμένες με την προσεταιριστική ιδιότητα,και δεν τακτοποιούνται με την προτεραιότητα των πράξεων, καλό είναι να βάζουμε παρενθέσεις για να μην μπερδεύονται τα παιδιά.


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Νοέμ 25, 2016 11:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Όσο για το θέμα που συζητάμε: Αν δούμε το 8-4-3 ή τα ανάλογα, ως 8+(-4)+(-3), που άλλωστε είναι ο ορισμός του, δεν προκύπτει κανένα θέμα παρανόησης από τους μαθητές.
Νομίζω ότι είναι καλύτερα να κρατάμε τα Μαθηματικά στην φυσικότερη μορφή τους για να μην αποκομμίζει ο μαθητής την αίσθηση ότι είναι περίεργα. Στόχος μας πρέπει να είναι μόνο να αγαπήσει τα Μαθηματικά το παιδί, όχι να τα αποστραφεί.
Ακριβώς !! Η παράσταση 8-4-3 έχει νόημα μόνο στους ρητούς( με αρνητικούς δηλαδή) γιατί η πράξη είναι αυτή της πρόσθεσης όπως ακριβώς την περιγράφεις! Ισχυει η προσεταιριστική οπότε δεν χρειάζονται οι παρενθέσεις!
Στον κόσμο όμως των φυσικών αριθμών η παράσταση δεν είναι μονοσήμαντη. Βέβαια ο δάσκαλος θα "προτείνει-επιβάλει" την τεχνική "αριστερα προς τα δεξιά" για να διορθώσει την κατάσταση και απλά ο μαθητής θα υπακούσει, και θα σκεφτεί "Για να το λέει ο Δάσκαλος/Καθηγητής έτσι πρέπει να είναι...". Αυτό δεν ξέρω κατά πόσο προάγει την αγάπη των παιδιών για τα Μαθηματικά.

Αυτό που προτείνω είναι απλά ότι πριν την διδασκαλία των αρνητικών αριθμών παραστάσεις όπως την 8-4-3 να δίνονται με παρένθεση (8-4)-3. Γράφοντάς την με αυτόν τον τρόπο δεν χρειάζεται κανένας άγραφος κανόνας.


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Σάβ Νοέμ 26, 2016 12:01 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Η ιστοσελίδα-blogg που παραπέμπεις είναι εξαιρετική. Ευχαριστούμε.
Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια :D


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 26, 2016 10:32 am

ghuyuris έγραψε:Βεβαίως και του έχουν υποδείξει τι πρέπει να κάνει ώστε η λύση να ταιριάζει και στα δικά μας μαθηματικά...
Πρώτα πρώτα να ξεκαθαρίσουμε στους μαθητές που μας διαβάζουν, ότι τα μαθηματικά είναι ενιαία. Δεν υπάρχουν δικά μας και δικά τους μαθηματικά. Τα μαθηματικά του Γυμνασίου δεν συγκρούονται με τα μαθηματικά του Δημοτικού. Απλώς συμπληρώνουν τις γνώσεις που έχουν τα παιδιά από το Δημοτικό. Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με το Λύκειο.

Αν τώρα θέλουμε να εξηγήσουμε την πράξη 8-4-3, μπορούμε να αναφέρουμε κάποιο πρακτικό παράδειγμα, π.χ.
"Ο Γιαννάκης έχει στην τσέπη του 8 €. Πηγαίνει στο βιβλιοπωλείο της γειτονιάς του και αγοράζει τετράδια αξίας 4 €. Στη συνέχεια πηγαίνει στο φούρνο και ξοδεύει άλλα 3 €. Πόσα χρήματα του έμειναν;"
προτεραιότητα.png
προτεραιότητα.png (2.79 KiB) Προβλήθηκε 3455 φορές
1η εξήγηση: Στο βιβλιοπωλείο ξοδεύει 4 €, άρα του περισσεύουν 8-4=4 €. Στο φούρνο ξοδεύει άλλα 3 €,

οπότε του μένουν 4-3=1 €. Επομένως: \boxed{8-4-3=(8-4)-3=1}

2η εξήγηση: Στο βιβλιοπωλείο ξοδεύει 4 €, στο φούρνο ξοδεύει άλλα 3 €, οπότε συνολικά ξοδεύει 4+3=7 €.

Άρα του μένουν 8-7=1 €. Επομένως: \boxed{8-4-3=8-(4+3)=1}

Εδώ λοιπόν, έχουμε μία έμμεση αναφορά του τι πρόκειται να επακολουθήσει στα παρακάτω κεφάλαια.
ghuyuris έγραψε: ...αλλά πιστεύω ότι τέτοιες υποδείξεις μαθηματικώς είναι αβάσιμες και ίσως αντιπαιδαγωγικές.
Θα συμφωνήσω ότι οι υποδείξεις αυτές δεν είναι τεκμηριωμένες, αλλά σε καμία περίπτωση αβάσιμες ή αντιπαιδαγωγικές. Και στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι και τελείως ανώδυνες, αφού σε μερικούς μήνες οι μαθητές θα μάθουν γιατί ακριβώς γίνεται όλο αυτό. Απλώς να θυμίσω ότι μη τεκμηριωμένες προτάσεις δίνουμε συνεχώς στα παιδιά. Προτάσεις που αποδεικνύονται, αρκετές φορές, πολύ αργότερα. Αναφέρω κάποια παραδείγματα.

Στην Α' Γυμνασίου τα παιδιά μαθαίνουν ότι:
● Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180^0.
● Δύο παράλληλες ευθείες τεμνόμενες από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Πόσο τεκμηριωμένα είναι αυτά; Αυτά αποδεικνύονται στην Α΄Λυκείου, ενώ στην αρχή της ίδιας τάξης απαγορεύεται να τα χρησιμοποιούν.

● Στη Β' Γυμνασίου μαθαίνουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα, χωρίς καμία τεκμηρίωση, το οποίο αποδεικνύεται στη Β' Λυκείου, ενώ μέχρι να συμβεί αυτό, οι μαθητές του Λυκείου υποκρίνονται ότι δεν το γνωρίζουν όπως και πολλά άλλα.


Άβαταρ μέλους
ghuyuris
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Μάιος 25, 2012 11:52 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια παρατήρηση ως προς την Προσεταιριστική ιδιότητα!

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghuyuris » Παρ Δεκ 02, 2016 5:56 pm

george visvikis έγραψε: Πρώτα πρώτα να ξεκαθαρίσουμε στους μαθητές που μας διαβάζουν, ότι τα μαθηματικά είναι ενιαία. Δεν υπάρχουν δικά μας και δικά τους μαθηματικά. Τα μαθηματικά του Γυμνασίου δεν συγκρούονται με τα μαθηματικά του Δημοτικού. Απλώς συμπληρώνουν τις γνώσεις που έχουν τα παιδιά από το Δημοτικό. Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με το Λύκειο.
Απλά εννοούσα ότι ο εκπαιδευτικός γνωρίζει τους ρητούς ενώ ο μαθητής(σε αυτη την φάση που συζητάμε) όχι.Υπάρχει γνωστική διαφορά.

Από την άλλη εσύ ως μαθηματικός ή άνθρωπος που ασχολείσαι με τα μαθηματικά, τον πιστεύεις αυτόν τον κανόνα. Και δεν λέω αν αποδεικνύεται ή όχι. Αν όχι γιατί πρέπει να τον μάθει ο μαθητής σου;

Στον παρακάτω σύνδεσμο έχω γράψει κάποια πράγματα πάνω σ'αυτό το θέμα.
http://www.x-maths.com/blog/?p=249

Ευχαριστώ για την ανταπόκριση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης