Σύγκριση κλασμάτων

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

smarpant
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 10, 2010 3:33 pm

Σύγκριση κλασμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από smarpant » Κυρ Νοέμ 22, 2015 5:32 pm

Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 334
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Νοέμ 22, 2015 7:44 pm

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!
Το κλάσμα \frac{111112}{222223} = \frac{1111120}{2222230} είναι λίγο μεγαλύτερο από το κλάσμα \frac{1111115}{2222230}=\frac{2222230}{4444460}=\frac{222223}{444446}. Τώρα το κλάσμα\frac{222223}{444446} είναι μικρότερο από το κλάσμα \frac{222223}{333334}.
Συνεπώς το πρώτο κλάσμα είναι σαφώς μικρότερο του δευτέρου.
Κανονικά στην ύλη της Ε΄ Δημοτικού έπρεπε να έχει εμπεδωθεί ότι όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής τόσο το κλάσμα μικραίνει! Δυστυχώς όμως (εκ ...πείρας το λέω ) δεν συμβαίνει αυτό! Ας ρίξουν μια ματιά , ειδικά όσοι συνάδελφοι έχουν παιδιά στο Δημοτικό, τι συμβαίνει με το βιβλίο της Ε΄ Δημοτικού. Με πολύ ενδιαφέρον θα άκουγα τις παρατηρήσεις τους για το συγκεκριμένο βιβλίο.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος


kostanikolakopoulos
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 15, 2014 7:02 am

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostanikolakopoulos » Παρ Δεκ 11, 2015 5:33 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!
Το κλάσμα \frac{111112}{222223} = \frac{1111120}{2222230} είναι λίγο μεγαλύτερο από το κλάσμα \frac{1111115}{2222230}=\frac{2222230}{4444460}=\frac{222223}{444446}. Τώρα το κλάσμα\frac{222223}{444446} είναι μικρότερο από το κλάσμα \frac{222223}{333334}.
Συνεπώς το πρώτο κλάσμα είναι σαφώς μικρότερο του δευτέρου.
Κανονικά στην ύλη της Ε΄ Δημοτικού έπρεπε να έχει εμπεδωθεί ότι όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής τόσο το κλάσμα μικραίνει! Δυστυχώς όμως (εκ ...πείρας το λέω ) δεν συμβαίνει αυτό! Ας ρίξουν μια ματιά , ειδικά όσοι συνάδελφοι έχουν παιδιά στο Δημοτικό, τι συμβαίνει με το βιβλίο της Ε΄ Δημοτικού. Με πολύ ενδιαφέρον θα άκουγα τις παρατηρήσεις τους για το συγκεκριμένο βιβλίο.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος
Το βιβλίο της Ε' δημοτικού είναι αρκετά μπερδεμένο....η δασκάλα της κόρης μου επέλεξε να μην κάνει από το βιβλίο...είδε ποιά είναι η ύλη της Ε' δημοτικού την κατέγραψε....και την κάνει κομμάτι θεωρία στη συνέχεια παραδείγματα και κατόπιν πολλές ασκήσεις...απο οτι βλέπω στη κόρη μου ειναι πιο κατανοητό έτσι και έχει περισσότερο ώρεξη για το μάθημα....δεν είμαι μαθηματικος αλλά ηλεκτρολόγος μηχανικός πολυτεχνείου και συμφωνώ....


Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Κυρ Δεκ 13, 2015 8:16 pm

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Διαιρώντας τα κλάσματα, προκύπτει ότι:

\displaystyle{\frac{\frac{222223}{333334}}{\frac{111112}{222223}} = \frac{222223^2}{111112 \cdot 333334} = \frac{222223^2}{ ( 222223 - 111111 ) \cdot ( 222223 + 111111 )} = \frac{222223^2}{222223 ^2 - 111111^2} > 1.

Άρα,

\displaystyle{\frac{222223}{333334} > \frac{111112}{222223}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Μαρ 28, 2017 6:40 pm

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Μία άλλη λύση:

Θέτω \alpha=\frac{111112}{222223} και \beta=\frac{222223}{333334}Αφαιρώ καθ'ένα από το ένα. Αυτό που θα βγει με τη

μεγαλύτερη διαφορά θα είναι το μικρότερο. Δηλαδή:

1-\frac{111112}{222223}= \frac{222223}{222223}-\frac{111112}{222223}=\frac{111111}{222223}

και

1-\frac{222223}{333334}=\frac{333334}{333334}-\frac{222223}{333334}=\frac{111111}{333334}

Άρα \boxed {\alpha<\beta}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 28, 2017 6:55 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Μία άλλη λύση:

Θέτω \alpha=\frac{111112}{222223} και \beta=\frac{222223}{333334}Αφαιρώ καθ'ένα από το ένα. Αυτό που θα βγει με τη

μεγαλύτερη διαφορά θα είναι το μικρότερο. Δηλαδή:

1-\frac{111112}{222223}= \frac{222223}{222223}-\frac{111112}{222223}=\frac{111111}{222223}

και

1-\frac{222223}{333334}=\frac{333334}{333334}-\frac{222223}{333334}=\frac{111111}{333334}

Άρα \boxed {\alpha<\beta}

:clap2:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 28, 2017 7:21 pm

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Αλλιώς: Πολύ εύκολα βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας χιαστί τις δύο ανισώσεις που ακολουθούν, ότι

\frac{222223}{333334} > \frac {3}{5} > \frac{111112}{222223}

Τελειώσαμε.

Σκέψη: Με το μάτι εύκολα βλέπουμε ότι \frac{222223}{333334} \approx \frac {2}{3} και > \frac{111112}{222223} \approx \frac {1}{2}

Επειδή \frac {2}{3} >  \frac {1}{2} και με περίσσευμα, συγκρίνουμε τα αρχικά κλάσματα με το \frac {3}{5} που είναι ανάμεσα στα \frac {2}{3}\, ,  \frac {1}{2}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μαρ 29, 2017 1:30 pm

Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 29, 2017 3:34 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;
Τι δεν σου αρέσει από τις τρεις προηγούμενες;


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μαρ 29, 2017 5:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;
Τι δεν σου αρέσει από τις τρεις προηγούμενες;
Το λέω γιατί σκέφτηκα μια άλλη. Αν δεν υπάρχει άλλη, πρέπει να έχω κάνει λάθος.( Δε νομίζω)

Κοιτάξτε:

Κάνω ομώνυμα τα κλάματα a, \beta. Άρα:

a=\dfrac{111112}{222223}=\dfrac{111112}{222223}\cdot\dfrac{333334}{333334}=\dfrac{37037407408}{74074481482}

και

\beta=\dfrac{222223}{333334}=\dfrac{222223}{333334}\cdot\dfrac{222223}{222223}=\dfrac{49383061729}{74074481482}

Άρα \boxed{a<\beta}
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Παρ Μαρ 31, 2017 6:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 29, 2017 6:03 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Το λέω γιατί σκέφτηκα μια άλλη. Αν δεν υπάρχει άλλη, πρέπει να έχω κάνει λάθος.( Δε νομίζω)
Υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις. 'Ομως εξυπακούεται ότι ο θεματοθέτης θέλει απλές και κομψές λύσεις, ΧΩΡΙΣ ΕΠΙΠΟΝΕΣ πράξεις.

Η δική σου, αν και σωστή, εμπίπτει στην κατηγορία των επίπονων πράξεων. Αν τις επιτρέπαμε, τότε η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί απλά εκτελώντας την διαίρεση, χωρίς πολύ σοφία. Θα βρεις

\displaystyle{ \frac{111112}{222223}= 0,50000225... } και \displaystyle{\frac{222223}{333334}=0,66666766...}

και λοιπά.

Έτσι όμως εργάστηκα ως Λογιστής, όχι ως Μαθηματικός.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μαρ 29, 2017 6:08 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις. Όμως εξυπακούεται ότι ο θεματοθέτης θέλει απλές και κομψές λύσεις, ΧΩΡΙΣ ΕΠΙΠΟΝΕΣ πράξεις.

Η δική σου, αν και σωστή, εμπίπτει στην κατηγορία των επίπονων πράξεων. Αν τις επιτρέπαμε, τότε η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί απλά εκτελώντας

την διαίρεση, χωρίς πολύ σοφία. Θα βρεις

\displaystyle{ \frac{111112}{222223}= 0,50000225... } και \displaystyle{\frac{222223}{333334}=0,66666766...}

και λοιπά.

Έτσι όμως εργάστηκα ως Λογιστής, όχι ως Μαθηματικός.
Κατάλαβα!!! :coolspeak:


pro
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Μάιος 27, 2013 3:00 pm

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pro » Τρί Αύγ 15, 2017 2:02 pm

kostanikolakopoulos έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν \frac{111112}{222223} και \frac{222223}{333334}
Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!
Το κλάσμα \frac{111112}{222223} = \frac{1111120}{2222230} είναι λίγο μεγαλύτερο από το κλάσμα \frac{1111115}{2222230}=\frac{2222230}{4444460}=\frac{222223}{444446}. Τώρα το κλάσμα\frac{222223}{444446} είναι μικρότερο από το κλάσμα \frac{222223}{333334}.
Συνεπώς το πρώτο κλάσμα είναι σαφώς μικρότερο του δευτέρου.
Κανονικά στην ύλη της Ε΄ Δημοτικού έπρεπε να έχει εμπεδωθεί ότι όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής τόσο το κλάσμα μικραίνει! Δυστυχώς όμως (εκ ...πείρας το λέω ) δεν συμβαίνει αυτό! Ας ρίξουν μια ματιά , ειδικά όσοι συνάδελφοι έχουν παιδιά στο Δημοτικό, τι συμβαίνει με το βιβλίο της Ε΄ Δημοτικού. Με πολύ ενδιαφέρον θα άκουγα τις παρατηρήσεις τους για το συγκεκριμένο βιβλίο.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος
Το βιβλίο της Ε' δημοτικού είναι αρκετά μπερδεμένο....η δασκάλα της κόρης μου επέλεξε να μην κάνει από το βιβλίο...είδε ποιά είναι η ύλη της Ε' δημοτικού την κατέγραψε....και την κάνει κομμάτι θεωρία στη συνέχεια παραδείγματα και κατόπιν πολλές ασκήσεις...απο οτι βλέπω στη κόρη μου ειναι πιο κατανοητό έτσι και έχει περισσότερο ώρεξη για το μάθημα....δεν είμαι μαθηματικος αλλά ηλεκτρολόγος μηχανικός πολυτεχνείου και συμφωνώ....
Έθεσα τον προβληματισμό στη κόρη της φίλης μου να μου πει ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο το 2/4 ή το 4/8 και επειδή η δασκάλα της, της είχε πει πως όσο μεγαλώνει ο παρανομαστής μικραίνει το κλάσμα την πάτησε και μου έδωσε λάθος απάντηση. Για να της αποδείξω πως τα κλάσματα είναι ίσα (δεν ήθελα ακόμη να την μάθω απλοποίηση γιατί δεν γνωρίζει καλά-καλά προπαίδεια, πήρα ένα πακέτο ζάχαρη και μία ζυγαριά για να δει πως τελικά το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο...

Τώρα θα της μάθω προπαίδεια με κάρτες και όταν δω πως θα την έχει μάθει άπταιστα, τότε θα της δίνω για παράδειγμα το 18 και θα της λέω να μου βρει ποιοι συνδυασμοί ισούνται με το 18 ή το 36 κτλ.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Σύγκριση κλασμάτων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Νοέμ 04, 2017 6:10 am

pro έγραψε:
Τρί Αύγ 15, 2017 2:02 pm
Έθεσα τον προβληματισμό στη κόρη της φίλης μου να μου πει ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο το 2/4 ή το 4/8 και επειδή η δασκάλα της, της είχε πει πως όσο μεγαλώνει ο παρανομαστής μικραίνει το κλάσμα την πάτησε και μου έδωσε λάθος απάντηση. Για να της αποδείξω πως τα κλάσματα είναι ίσα (δεν ήθελα ακόμη να την μάθω απλοποίηση γιατί δεν γνωρίζει καλά-καλά προπαίδεια, πήρα ένα πακέτο ζάχαρη και μία ζυγαριά για να δει πως τελικά το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο...

Τώρα θα της μάθω προπαίδεια με κάρτες και όταν δω πως θα την έχει μάθει άπταιστα, τότε θα της δίνω για παράδειγμα το 18 και θα της λέω να μου βρει ποιοι συνδυασμοί ισούνται με το 18 ή το 36 κτλ.
Καλημέρα.
Το πιο πιθανό είναι να είπε η δασκάλα το σωστό, αλλά κάποιοι μαθητές, να μην συγκράτησαν την φράση: "Όταν είναι ίδιος ο αριθμητής..."
Το έχω συναντήσει και σε ορισμένους μαθητές της Α Γυμνασίου (και όχι μόνο).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης