Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

JimNt. · #161

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 73: Γράφουμε σε ένα χαρτί διαδοχικούς περιττούς φυσικούς αριθμούς. Παρατηρήσαμε ότι αν διαγράψουμε
έναν συγκεκριμένο από αυτούς, τότε το άθροισμα των υπολοίπων πέντε αριθμών, έχει άθροισμα .
Να βρείτε ποιοι είναι οι έξι αριθμοί που είχαμε γράψει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#162

ΑΣΚΗΣΗ 74: Αν $n\in N$ , να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{3^n +8^{n-1} +1 = n^7 +(n+1)^2}$

Ορέστης Λιγνός · #163

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74: Αν $n\in N$ , να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{3^n +8^{n-1} +1 = n^7 +(n+1)^2}$

Η εξίσωση γράφεται $3^n+8^{n-1}=n^7+n^2+2n$ .

Αν n>8

, με επαγωγή, $3^n \geqslant n^2+2n, \, 8^{n-1}>n^7$ , οπότε με πρόσθεση αυτών, $3^n+8^{n-1}>n^7+n^2+2n$ , άτοπο.

Άρα, $n \leqslant 8$ , και με δοκιμές n=1

.

JimNt. · #164

Απλά αν

,

, άτοπο...

#165

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74: Αν $n\in N$ , να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{3^n +8^{n-1} +1 = n^7 +(n+1)^2}$

Γράφω αναλυτικά την λύση του JimNt:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n\neq 1}$ . Τότε:
Ο αριθμός

είναι περιττός, άρα περιττός θα είναι και ο $\displaystyle{3^n}$
Ο αριθμός 8 είναι άρτιος, άρα άρτιος θα είναι και ο $\displaystyle{8^{n-1}}$
Συνεπώς ο αριθμός στο πρώτο μέλος είναι άρτιος.
Θα αποδείξουμε ότι ο αριθμός στο δεύτερο μέλος είναι περιττός
Πράγματι, αν

άρτιος, τότε n+1

περιττός και άρα το δεύτερο μέλος είναι περιττός
Ενώ αν

περιττός, τότε n+1

περιττός και άρα και πάλι το δεύτερο μέλος είναι περιττός
Άρα αν $\displaystyle{n\neq 1}$ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n=1}$ . Τότε εύκολα βλέπουμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται.

Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{n=1}$

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση