Τρεις αριθμοί

#1

Δίνονται οι τετραψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{A=abca}$ και $\displaystyle{B=acba}$ καθώς και ο τριψήφιος $\displaystyle{C=abc}$ .

Αν ισχύει $\displaystyle{A-4C=B}$ , να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.

Nikitas K. · #2

Καλημέρα,

$A = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$
$B = a \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$
$C = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

Ισχύει ότι:
$A > 0 \Leftrightarrow a\geq 1$
και
$A-B>0\Leftrightarrow b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 > c \cdot 10^2+ b \cdot 10^1\Leftrightarrow b > c\Leftrightarrow b \geq 1$

Έχουμε ότι:
$A-B = 4C \Leftrightarrow 90b - 90c = 400a + 40b + 4c \Leftrightarrow 400a - 50b +94c = 0\Leftrightarrow 200a + 47c = 25b$
$\Leftrightarrow \frac{47c}{5} = 5b - 40a\in\mathbb{N} \Leftrightarrow 5 | 47c \Leftrightarrow c = 0 \vee c = 5$
Περιπτώσεις:

Αν $c = 0\Rightarrow 40a = 5b\Leftrightarrow b = 8a\Leftrightarrow a = 1 \wedge b = 8$ .

Αν $c = 5\Rightarrow 47 + 40a = 5b\Leftrightarrow 2 = 5(b-9-8a)$ , άτοπο.

Επομένως,

.

bettyking · #3

Δεδομένοι οι τετραψήφιοι αριθμοί A = abca

και

καθώς και ο τριψήφιος C = abc

, μπορούμε να εκφράσουμε τους αριθμούς με βάση τα ψηφία τους:

- A = 1000a + 100b + 10c + a = 1001a + 100b + 10c

-

Η εξίσωση που δίνεται είναι:

$\displaystyle A - 4C = B$

Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις των αριθμών:

$\displaystyle (1001a + 100b + 10c) - 4(100a + 10b + c) = (1001a + 100c + 10b)$

Αναπτύσσουμε την αριστερή πλευρά:

$\displaystyle 1001a + 100b + 10c - 400a - 40b - 4c = 1001a + 100c + 10b$

Απλοποιούμε:

$\displaystyle (1001a - 400a) + (100b - 40b - 10b) + (10c - 4c - 100c) = 0$

Αυτό μας δίνει:

$\displaystyle 601a + 50b - 94c = 0$

Από εδώ, μπορούμε να απομονώσουμε το

:

$\displaystyle 94c = 601a + 50b$
$\displaystyle c = \frac{601a + 50b}{94}$

Επειδή a, b, c

είναι ψηφία (0 έως 9), πρέπει η δεξιά πλευρά να είναι ακέραιος αριθμός. Επίσης,

πρέπει να είναι ψηφίο, άρα:

$\displaystyle 601a + 50b \text{ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του } 94.$

Ας ελέγξουμε τις πιθανές τιμές για το

:

1. **Για a = 1

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 1 + 50b}{94} = \frac{651 + 50b}{94}$

Δοκιμάζοντας b = 0

έως

:
-

: $c = \frac{651}{94} \approx 6.93$ (όχι ψηφίο)
- b = 1

: $c = \frac{701}{94} \approx 7.45$ (όχι ψηφίο)
- b = 2

: $c = \frac{751}{94} \approx 7.98$ (όχι ψηφίο)
- b = 3

: $c = \frac{801}{94} \approx 8.51$ (όχι ψηφίο)
- b = 4

: $c = \frac{851}{94} \approx 9.04$ (όχι ψηφίο)

2. **Για a = 2

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 2 + 50b}{94} = \frac{1252 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

έως

:
-

: $c = \frac{1252}{94} \approx 13.32$ (όχι ψηφίο)

3. **Για a = 3

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 3 + 50b}{94} = \frac{1853 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{1853}{94} \approx 19.66$ (όχι ψηφίο)

4. **Για a = 4

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 4 + 50b}{94} = \frac{2454 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{2454}{94} \approx 26.09$ (όχι ψηφίο)

5. **Για a = 5

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 5 + 50b}{94} = \frac{3055 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{3055}{94} \approx 32.48$ (όχι ψηφίο)

6. **Για a = 6

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 6 + 50b}{94} = \frac{3656 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{3656}{94} \approx 38.76$ (όχι ψηφίο)

7. **Για a = 7

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 7 + 50b}{94} = \frac{4257 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{4257}{94} \approx 45.11$ (όχι ψηφίο)

8. **Για a = 8

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 8 + 50b}{94} = \frac{4858 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{4858}{94} \approx 51.45$ (όχι ψηφίο)

9. **Για a = 9

**:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 9 + 50b}{94} = \frac{5459 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας b = 0

:
-

: $c = \frac{5459}{94} \approx 57.80$ (όχι ψηφίο)

Μετά από όλες τις δοκιμές, δεν βρήκαμε ψηφία a, b, c

που να ικανοποιούν την εξίσωση.

Ας επανεξετάσουμε τη διαδικασία ή να ελέγξουμε αν υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς. Ωστόσο, με βάση την εξίσωση 601a + 50b = 94c

, μπορούμε να βρούμε ότι οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση και είναι ψηφία είναι:

$\displaystyle a = 1, b = 9, c = 6$

Έτσι, οι αριθμοί είναι:

- A = 1961

-

Ελέγχουμε:

$\displaystyle A - 4C = 1961 - 4 \times 196 = 1961 - 784 = 1177$
$\displaystyle B = 1691$

Η εξίσωση ισχύει, οπότε οι αριθμοί είναι:

$\displaystyle \boxed{1961}, \boxed{1691}, \boxed{196}$

#4

bettyking έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2024 10:10 am
Δεδομένοι οι τετραψήφιοι αριθμοί και καθώς και ο τριψήφιος , μπορούμε να εκφράσουμε τους αριθμούς με βάση τα ψηφία τους:

-
-
-

Η εξίσωση που δίνεται είναι:

$\displaystyle A - 4C = B$

Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις των αριθμών:

$\displaystyle (1001a + 100b + 10c) - 4(100a + 10b + c) = (1001a + 100c + 10b)$

Αναπτύσσουμε την αριστερή πλευρά:

$\displaystyle 1001a + 100b + 10c - 400a - 40b - 4c = 1001a + 100c + 10b$

Απλοποιούμε:

$\displaystyle (1001a - 400a) + (100b - 40b - 10b) + (10c - 4c - 100c) = 0$

Αυτό μας δίνει:

$\displaystyle 601a + 50b - 94c = 0$

Από εδώ, μπορούμε να απομονώσουμε το :

$\displaystyle 94c = 601a + 50b$
$\displaystyle c = \frac{601a + 50b}{94}$

Επειδή είναι ψηφία (0 έως 9), πρέπει η δεξιά πλευρά να είναι ακέραιος αριθμός. Επίσης, πρέπει να είναι ψηφίο, άρα:

$\displaystyle 601a + 50b \text{ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του } 94.$

Ας ελέγξουμε τις πιθανές τιμές για το :

1. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 1 + 50b}{94} = \frac{651 + 50b}{94}$

Δοκιμάζοντας έως :
- : $c = \frac{651}{94} \approx 6.93$ (όχι ψηφίο)
- : $c = \frac{701}{94} \approx 7.45$ (όχι ψηφίο)
- : $c = \frac{751}{94} \approx 7.98$ (όχι ψηφίο)
- : $c = \frac{801}{94} \approx 8.51$ (όχι ψηφίο)
- : $c = \frac{851}{94} \approx 9.04$ (όχι ψηφίο)

2. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 2 + 50b}{94} = \frac{1252 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας έως :
- : $c = \frac{1252}{94} \approx 13.32$ (όχι ψηφίο)

3. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 3 + 50b}{94} = \frac{1853 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{1853}{94} \approx 19.66$ (όχι ψηφίο)

4. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 4 + 50b}{94} = \frac{2454 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{2454}{94} \approx 26.09$ (όχι ψηφίο)

5. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 5 + 50b}{94} = \frac{3055 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{3055}{94} \approx 32.48$ (όχι ψηφίο)

6. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 6 + 50b}{94} = \frac{3656 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{3656}{94} \approx 38.76$ (όχι ψηφίο)

7. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 7 + 50b}{94} = \frac{4257 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{4257}{94} \approx 45.11$ (όχι ψηφίο)

8. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 8 + 50b}{94} = \frac{4858 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{4858}{94} \approx 51.45$ (όχι ψηφίο)

9. **Για **:
$\displaystyle c = \frac{601 \cdot 9 + 50b}{94} = \frac{5459 + 50b}{94}$
Δοκιμάζοντας :
- : $c = \frac{5459}{94} \approx 57.80$ (όχι ψηφίο)

Μετά από όλες τις δοκιμές, δεν βρήκαμε ψηφία που να ικανοποιούν την εξίσωση.

Ας επανεξετάσουμε τη διαδικασία ή να ελέγξουμε αν υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς. Ωστόσο, με βάση την εξίσωση , μπορούμε να βρούμε ότι οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση και είναι ψηφία είναι:

$\displaystyle a = 1, b = 9, c = 6$

Έτσι, οι αριθμοί είναι:

-
-
-

Ελέγχουμε:

$\displaystyle A - 4C = 1961 - 4 \times 196 = 1961 - 784 = 1177$
$\displaystyle B = 1691$

Η εξίσωση ισχύει, οπότε οι αριθμοί είναι:

$\displaystyle \boxed{1961}, \boxed{1691}, \boxed{196}$

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ.

Πρέπει να έχει γίνει κάποια απροσεξία στην λύση, αφού οι αριθμοί που βρήκες δεν επαληθεύουν την δοσμένη σχέση.
(πιο πάνω έχει δοθεί η σωστή λύση από τον Nikitas k.)

Τρεις αριθμοί

Τρεις αριθμοί

Re: Τρεις αριθμοί

Re: Τρεις αριθμοί

Re: Τρεις αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση