Ο μικρός Gauss

#1

Ο Gauss, όταν ήταν στην δευτέρα του Δημοτικού, είχε βρει έναν εύκολο τρόπο να υπολογίσει το άθροισμα :

$\displaystyle{1 + 2 + 3 + ... + 100}$ , που τους είχε ζητήσει ο δάσκαλος να βρουν μέσα στην τάξη.

Είχε παρατηρήσει, ότι αν πάρει τα ζεύγη $\displaystyle{(1 , 100) , (2 , 99) , (3 , 98) , ...}$ έβρισκε σταθερό άθροισμα 101. Και αφού τα ζεύγη ήταν

$\displaystyle{50}$ στο πλήθος, αρκούσε να κάνει τον πολλαπλασιασμό του $\displaystyle{50}$ με το $\displaystyle{101}$ (από πολύ πιο μικρός ήξερε τις τέσσερις πράξεις).

ΑΣΚΗΣΗ: Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

$\displaystyle{\frac{(1+2+3+ ... +100)(50+51+52+ ... +101)}{2+4+6+ ... +200}}$

(Χρειάζεται μια προσπάθεια λίγο μεγαλύτερη από αυτήν του μικρού Gauss)

#2

Δημήτρη καλημέρα! Φαντάζομαι θα δώσουμε μια εύλογη χρονική προτεραιότητα στους μικρούς μας "Καρόλους".

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 1:53 pm
Δημήτρη καλημέρα! Φαντάζομαι θα δώσουμε μια εύλογη χρονική προτεραιότητα στους μικρούς μας "Καρόλους".

Καλό απόγευμα Γιώργο. Ας αφήσουμε λίγες μέρες για κάποιον μαθητή Γυμνασίου. Μετά δίνουμε λύση με γνώσεις Α Γυμνασίου και με την ιδέα του Gauss. που στα παλαιότερα σχολικά βιβλία, ήταν γραμένο σε κάποια ιστορικά σημειώματα που είχαν. Δεν ξέρω τι γίνεται με τα νεώτερα σχολικά.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 4:46 pm
και με την ιδέα του Gauss. που στα παλαιότερα σχολικά βιβλία, ήταν γραμένο σε κάποια ιστορικά σημειώματα που είχαν. Δεν ξέρω τι γίνεται με τα νεώτερα σχολικά.

Στο τρέχον σχολικό βιβλίο της Α' Γυμνασίου υπάρχει ιστορικό σημείωμα για την πανέξυπνη ιδέα του μικρού Gauss, στην ενότητα Α1.2, σελίδα 17.

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 4:46 pm
Μετά δίνουμε λύση με γνώσεις Α Γυμνασίου και με την ιδέα του Gauss, που στα παλαιότερα σχολικά βιβλία, ήταν γραμένο σε κάποια ιστορικά σημειώματα που είχαν.

: Μικρός Kάρολος.jpg (103.09 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

thepigod762 · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 9:23 am
Ο Gauss, όταν ήταν στην δευτέρα του Δημοτικού, είχε βρει έναν εύκολο τρόπο να υπολογίσει το άθροισμα :

$\displaystyle{1 + 2 + 3 + ... + 100}$ , που τους είχε ζητήσει ο δάσκαλος να βρουν μέσα στην τάξη.

Είχε παρατηρήσει, ότι αν πάρει τα ζεύγη $\displaystyle{(1 , 100) , (2 , 99) , (3 , 98) , ...}$ έβρισκε σταθερό άθροισμα 101. Και αφού τα ζεύγη ήταν

$\displaystyle{50}$ στο πλήθος, αρκούσε να κάνει τον πολλαπλασιασμό του $\displaystyle{50}$ με το $\displaystyle{101}$ (από πολύ πιο μικρός ήξερε τις τέσσερις πράξεις).

ΑΣΚΗΣΗ: Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

$\displaystyle{\frac{(1+2+3+ ... +100)(50+51+52+ ... +101)}{2+4+6+ ... +200}}$

(Χρειάζεται μια προσπάθεια λίγο μεγαλύτερη από αυτήν του μικρού Gauss)

$\dfrac{(1+2+3+...+100)(50+51+52+...+101)}{2+4+6+...+200}=$

$=\dfrac{[(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)][(50+101)+(51+100) +(52+99)+...+(75+76)]}{(2+200)+(4+198)+(6+196)+...+(100+102)}=$

$=\dfrac{\overbrace{(101+101+101+...+101 )}^{50 numbers}\overbrace{(151+151+151+...+151)}^{26 numbers}}{\overbrace{202+202+202+...+202}^{50 numbers}}=$

$=\dfrac{101\cdot 50\cdot 151\cdot 26}{202\cdot 50}=1963$

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #7

Εναλλακτική λύση με την αξιοποίηση τριγωνικών αριθμών:

Η δοθείσα παράσταση γράφεται: $\frac{\frac{100 \cdot 101}{2} \cdot (\frac{101 \cdot 102}{2}-\frac{50 \cdot 49}{2})}{2 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2}}=\frac{100 \cdot 101(101\cdot102-50\cdot49)}{4\cdot 100 \cdot 101}=\frac{101\cdot102-50\cdot49}{4}=1963$

#8

Έχοντας υπόψιν μας την επιμεριστική ιδιότητα , παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής γράφεται:

$\displaystyle{2(1+2+3+ ... +100)}$ , οπότε το κλάσμα απλοποιείται και γράφεται:

$\displaystyle{\frac{50+51+52+ ... +101}{2}}$

Οι διαδοχικοί αριθμοί $\displaystyle{50 , 51 , 52 , ... , 101}$ είναι στο πλήθος $\displaystyle{101-50+1}$ , δηλαδή $\displaystyle{52}$ , οπότε δημιουργούνται $\displaystyle{26}$

ζευγάρια που έχουν άθροισμα $\displaystyle{151}$ (όπως το έκανε ο Gauss). Άρα έχουμε αποτέλεσμα $\displaystyle{\frac{151.26}{2}=151.13=1963}$

Ο μικρός Gauss

Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Re: Ο μικρός Gauss

Μέλη σε σύνδεση