Διαιρετότητα

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4277
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Φεβ 28, 2021 10:35 pm

Με γνώσεις μόνο της Α Γυμνασίου, να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι n, αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 5n+3 διαιρείται με τον n+1



Λέξεις Κλειδιά:
Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm

Καλησπέρα!

Έστω: \frac{5n+3}{n+1}=k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow 5n+3=k(n+1) \Leftrightarrow 5n+3=kn+k \Leftrightarrow 5n+5=kn+k+2 \Leftrightarrow

 5n-kn+5-k=2 \Leftrightarrow n(5-k)+5-k=2 \Leftrightarrow (5-k)(n+1)=2, απ΄όπου παίρνουμε τις τιμές n=0 \vee n=1


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 386
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Φεβ 28, 2021 11:07 pm

Philip.kal έγραψε:
Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm
Καλησπέρα!

Έστω: \frac{5n+3}{n+1}=k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow 5n+3=k(n+1) \Leftrightarrow 5n+3=kn+k \Leftrightarrow 5n+5=kn+k+2 \Leftrightarrow 5n-kn+5-k=2 \Leftrightarrow n(5-k)+5-k=2 \Leftrightarrow (5-k)(n+1)=2, απ΄όπου παίρνουμε τις τιμές n=0 \vee n=1
Πιο απλά,
\frac{5n+3}{n+1} = 5 - \frac{2}{n+1}, οπότε n+1 \mid 5n+3 αν και μόνο αν n+1 \mid 2. Άρα n=0 η n=1.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4277
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Διαιρετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Φεβ 28, 2021 11:26 pm

Ωραία.

Μια ακόμα παρουσίαση στο ίδιο πνεύμα, είναι και η εξής:

\displaystyle{\frac{5n+3}{n+1}=\frac{4n+n+4-1}{n+1}=\frac{4(n+1)+(n-1)}{n+1}=\frac{4(n+1)}{n+1}+\frac{n-1}{n+1}=4+\frac{n-1}{n+1}}

Αν ο n είναι μηδέν τότε n+1=1 και άρα ο n+1 διαιρεί τον 5n+3.

Αν ο n είναι θετικός ακέραιος, τότε ο n-1 είναι μη αρνητικός και επειδή ο n+1 είναι μεγαλύτερος από τον n-1, δεν θα μπορεί

να διαιρεί τον n-1, παρά μόνο αν ο n-1 ισούται με μηδέν. Άρα πρέπει n=1

Τελικά βρήκαμε ότι πρέπει ή n=0 ή n=1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης