Σε άλλον πλανήτη !

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5441
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Σε άλλον πλανήτη !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιούλ 17, 2020 9:37 am

Εκεί στην Κίνα πρέπει να είναι πολύ αυστηρά τα σχολεία και ειδικά στο Δημοτικό. Αλλιώς δεν μπορεί να εξηγηθεί το επίπεδο των θεμάτων που βάζουν σε διάφορους μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Δείτε ένα τέτοιο(σε πνεύμα) πρόβλημα :

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Σε κάποιον πλανήτη υπάρχουν μόνο 10 ώρες και κάθε ώρα έχει 100 λεπτά. Πόση είναι η οξεία γωνία(σε ...δικές μας μοίρες) που σχηματίζουν οι δείκτες του (δικού τους) ρολογιού στις 6:75 ;

Η απάντηση που δίνεται στο αρχείο είναι 27^0.



Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 459
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Ιούλ 17, 2020 10:14 am

Κύριε Μπάμπη καλημέρα!!! Νομίζω ότι είναι ένα υπέροχο πρόβλημα για Α γυμνασίου και απλά κρύβει μια μικρή παγιδούλα! Σε ποια τάξη του δημοτικού το έβαλαν οι Κινέζοι?


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5441
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιούλ 17, 2020 10:51 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 10:14 am
Κύριε Μπάμπη καλημέρα!!! Νομίζω ότι είναι ένα υπέροχο πρόβλημα για Α γυμνασίου και απλά κρύβει μια μικρή παγιδούλα! Σε ποια τάξη του δημοτικού το έβαλαν οι Κινέζοι?
Καλημέρα !

Δυστυχώς η πηγή δεν αναφέρει τάξη. Εϊναι ο διαγωνισμός Po Leung Kuk και τον κάνουν και στο ΤΕΧΑΣ. Από εκεί έχω μερικά αρχεία στα αγγλικά.

Αν μάθω και κάτι άλλο, θα σας το πω.

Χαιρετώ !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 17, 2020 2:33 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 9:37 am

Σε κάποιον πλανήτη υπάρχουν μόνο 10 ώρες και κάθε ώρα έχει 100 λεπτά. Πόση είναι η οξεία γωνία(σε ...δικές μας μοίρες) που σχηματίζουν οι δείκτες του (δικού τους) ρολογιού στις 6:75 ;

Η απάντηση που δίνεται στο αρχείο είναι 27^0.
Ωραιότατο πρόβλημα. Αν και όχι απλό για τον μέσο μαθητή, νομίζω ότι είναι ότι πρέπει για καλούς μαθητές και σίγουρα βγαίνει σχετικά εύκολα με γνώσεις Δημοτικού, και εννοώ όχι μόνο για τις μεγάλες τάξεις του Δημοτικού. Υπάρχουν πολλές λύσεις, και να μία:

Ο ωροδείκτης κινείται 360:10=36^o την ώρα. Στις 6\frac {3}{4} του μένουν 10-6\frac {3}{4} = 3\frac {1}{4} ώρες μέχρι να γίνει κάθετος (να δείχνει δηλαδή τον "βόρειο πόλο") άρα σχηματίζει γωνία 3\frac {1}{4} \times 36=107^o . Αφού ο λεπτοδείκτης εκείνη την ώρα σχηματίζει γωνία 90^o με τον "βόρειο πόλο" (καθώς δείχνει ¨δυτικά") (*), η μεταξύ τους γωνία είναι 107^o-90^o =27^o . Τελειώσαμε.


(*) Ας το δούμε και αλλιώς: Σε 75 λεπτά προχωρά \frac {75}{100} \times 360=270^o , και λοιπά


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5441
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιούλ 17, 2020 3:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 2:33 pm
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 9:37 am

Σε κάποιον πλανήτη υπάρχουν μόνο 10 ώρες και κάθε ώρα έχει 100 λεπτά. Πόση είναι η οξεία γωνία(σε ...δικές μας μοίρες) που σχηματίζουν οι δείκτες του (δικού τους) ρολογιού στις 6:75 ;

Η απάντηση που δίνεται στο αρχείο είναι 27^0.
Ωραιότατο πρόβλημα. Αν και όχι απλό για τον μέσο μαθητή, νομίζω ότι είναι ότι πρέπει για καλούς μαθητές και σίγουρα βγαίνει σχετικά εύκολα με γνώσεις Δημοτικού, και εννοώ όχι μόνο για τις μεγάλες τάξεις του Δημοτικού. Υπάρχουν πολλές λύσεις, και να μία:

Ο ωροδείκτης κινείται 360:10=36^o την ώρα. Στις 6\frac {3}{4} του μένουν 10-6\frac {3}{4} = 3\frac {1}{4} ώρες μέχρι να γίνει κάθετος (να δείχνει δηλαδή τον "βόρειο πόλο") άρα σχηματίζει γωνία 3\frac {1}{4} \times 36=107^o . Αφού ο λεπτοδείκτης εκείνη την ώρα σχηματίζει γωνία 90^o με τον "βόρειο πόλο" (καθώς δείχνει ¨δυτικά") (*), η μεταξύ τους γωνία είναι 107^o-90^o =27^o . Τελειώσαμε.


(*) Ας το δούμε και αλλιώς: Σε 75 λεπτά προχωρά \frac {75}{100} \times 360=270^o , και λοιπά
Μιχάλη σε ευχαριστώ πολύ.

Υποψιάζομαι ότι συμπέσαμε στον δεύτερο τρόπο(στο γενικό σκεπτικό). Αν δεν απατώμαι, στον πρώτο τρόπο μέτρησες κάπως αντίστροφα για να βρεις σε ποια θέση βρίσκεται ο ωροδείκτης στις 6,75.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 17, 2020 3:38 pm

Εγω πιστεύω ότι το πρόβλημα δεν είναι καλά τεθειμένο.
Η απάντηση εξαρτάται αν το ρολόι είναι μηχανικό η ψηφιακό.
Κάλλιστα η απάντηση θα μπορούσε να ήταν 54 μοίρες.
Και για κάποια ρολόγια κάποια άλλη απάντηση.


kkala
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Ιούλ 17, 2020 6:42 pm

Ο μικρός μαθητής μπορεί να φαντασθεί τις τροχιές ωροδείκτη και λεπτοδείκτη αρχίζοντας ακριβώς από το μεσημέρι (ή μεσάνυχτα). Το τόξο της τροχιάς των δύο δεικτών σε τοπική ώρα 6:75 είναι (σε σχέση με το μεσημέρι):
Για τον ωροδείκτη (360/10)x6.75= 243^{0}=180^{0}+63^{0}
Για τον λεπτοδείκτη (360/100)x75=270^{0}=180^{0}+90^{0}
Η γωνία των δύο δεικτών είναι η διαφορά των παραπάνω, δηλαδή 27^{0} (προηγείται ο λεπτοδείκτης).
Δεν μπορώ να κρίνω αν το παραπάνω είναι σαφέστερο στο μυαλό του μικρού μαθητή ή η λύση του #5 (Michalis_ Lambrou), που στο τέλος υπονοεί και αυτή τη λύση.

Εκτός από την παραπάνω δυσκολία, μία "παγιδούλα" του προβλήματος είναι το ότι ο ωροδείκτης κινείται διαδοχικά μεταξύ της τοπικής ώρας 6:00 και 7:00 καθώς ο λεπτοδείκτης κινείται μεταξύ 00 και 100, άρα έχει προχωρήσει κάπως κατά την τοπική ώρα 6:75 καθιστώντας την γωνία των δεικτων μικρότερη. Αν ο ωροδείκτης έμενε στο 6:00 (και απότομα πήγαινε στο 7:00), η διαφορά στην τοπική ώρα 6:75 θα ήταν (360/100)x75-(360/10)x6=54^{0}, όπως προβλέπει η #6 (Παπαδόπουλος Σταυρος). Η εμπειρία όμως δείχνει ότι αυτό δεν συμβαίνει. Τα ψηφιακά ρολόγια που φοράμε μετακινούν περίπου αναλογικά τον ωροδείκτη καθώς προχωράνε στην επόμενη ώρα. Την αναλογικότητα αυτή δέχεται και η λύση (#5 ή #7). Αν κάποιο ψηφιακό ρολόϊ (με ωροδείκτη και λεπτοδείκτη) δεν εργάζεται έτσι, τούτο αποτελεί εξαίρεση.
Τέτοια προβλήματα με "παγίδες" ήσαν πιο συχνά στις εξετάσεις του παρελθόντος. Θυμάμαι την κεντρική ιδέα ενός τέτοιου προβλήματος, που μπήκε στις εξετάσεις της 2ας Γυμνασίου (1963): Ένας εργάτης παίρνει μεροκάματο Α δρχ και καταναλώνει Β δρχ τη μέρα (Α>Β, και Α, Β αριθμητικά). Σε πόσες μέρες θα εξοικονομήσει Γ δρχ? Η "παγίδα" 'ηταν ότι την Κυριακή δεν έπαιρνε λεφτά, αλλά κατανάλωνε.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 17, 2020 8:43 pm

kkala έγραψε:
Παρ Ιούλ 17, 2020 6:42 pm
. Η εμπειρία όμως δείχνει ότι αυτό δεν συμβαίνει. Τα ψηφιακά ρολόγια που φοράμε μετακινούν περίπου αναλογικά τον ωροδείκτη καθώς προχωράνε στην επόμενη ώρα. Την αναλογικότητα αυτή δέχεται και η λύση (#5 ή #7). Αν κάποιο ψηφιακό ρολόϊ (με ωροδείκτη και λεπτοδείκτη) δεν εργάζεται έτσι, τούτο αποτελεί εξαίρεση.
Στα Μαθηματικά δεν υπάρχει περίπου.
Και όλα μα όλα τα ρολόγια με δείκτες που έχουν μηχανισμό (quartz)
και οι δύο δείκτες δεν μετακινούνται συνεχώς.
Σε τέτοιο λοιπόν ρολόι για να βρούμε την γωνία πρέπει να γνωρίζουμε
τον μηχανισμό που μετακινούνται οι δείκτες.


kkala
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Σε άλλον πλανήτη !

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Σάβ Ιούλ 18, 2020 2:36 pm

Στη Μαθηματική θεωρία και τα άμεσα εξ αυτής προβλήματα το "περίπου" φυσικά δεν υφίσταται. Προβλήματα όμως καθημερινότητας ή φυσικών εφαρμογών έχουν πολλές παραμέτρους (και άγνωστες), οπότε δεν μπορούν να έχουν μία λύση χωρίς "περίπου". Αυτό το "περίπου" πολλές φορές καλύπτεται από μία απλουστευτική παραδοχή (ή και περισσότερες), όπως έγινε και σε αυτό το πρόβλημα. Έτσι το θέμα καλύπτεται μαθηματικά, διότι ισχύει μόνον αν ισχύει η παραδοχή. Και εξω από τον Μαθηματικό κόσμο: ακόμα και αν η παραδοχή δεν είναι 100% έγκυρη, η λύση που στηρίζεται σε αυτήν μπορεί να έχει αξία.

Λοιπόν στο #7 (kkala) γίνεται παραδοχή ότι ο ωροδείκτης μετακινείται από το τοπικό 6:00 στο 7:00 αναλογικά προς την διαδρομή του λεπτοδείκτη, καθώς μετακινείται από το τοπικό 0 στο 100. Αυτή η παραδοχή αντιλαμβανόμαστε ότι συμβαίνει "περίπου" στα ψηφιακά ρολόγια που φοράμε (με τις δικές μας τιμές ώρας), δεν ξέρουμε όμως πόσο ακριβώς αναλογική είναι. Για τον λόγο αυτό παρακάμπτουμε το "περίπου" κάνοντας την απλουστευτική παραδοχή ότι η εν λόγω αναλογία ισχύει ακριβώς (βλέπε εξήγηση και στο #7). Με αυτή την παραδοχή η #4 και #7 φθάνουν στη λύση των 27^{0}, που κρίνεται εύλογη. Άλλωστε είναι η εγκεκριμένη λύση. Η άσκηση ζητάει απάντηση δίνοντας αυτά τα στοιχεία μόνο, οι μαθητές πρέπει να απαντήσουν συγκεκριμένα έστω και με δικές τους παραδοχές. Πιθανόν βέβαια και άλλη λύση να έπαιρνε κάποιο μικρότερο βαθμό, ιδίως αν είχε τεκμηρίωση.

Όσον αφορά τα μηχανικά ρολόγια εκεί η αναλογικότητα είναι δεδομένη, εφόσον μεταδίδουν την κίνηση στον ωροδείκτη μέσω οδοντωτών τροχών.
Πάντως μια βάσιμη ένσταση είναι ότι δύσκολα οι μικροί μαθητές θα εννοούσαν την κίνηση του ωροδείκτη παράλληλα / αναλογικά με του λεπτοδείκτη, θα έπεφταν δηλαδή στην παγίδα.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης