Η ισότητα των τριγώνων

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Σε ένα μάθημα γεωμετρίας, στην Α λυκείου, ο δάσκαλος έδωσε τον ακόλουθο ερώτημα:
Δύο τρίγωνα ABC και EFG έχουν BC=FG=12 και AB=EF=7 και τις γωνίες ACB και EGF ίσες με 30 μοίρες. Εξετάστε εάν τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Δύο μαθητές συζήτησαν τον ανωτέρω ερώτημα και εξέφρασαν τις ακόλουθες απόψεις:
Μαθητής Α: Τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και μια γωνία ίση επομένως είναι ίσα.
Μαθητής β: Ξέρουμε από τη θεωρία ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευρές και μια περιεχόμενη γωνία ίση. Επομένως, τα δεδομένα τρίγωνα δεν είναι ίσα.

Εάν ο ανωτέρω διάλογος πραγματοποιηθεί στην τάξη σας, πώς θα αντιδρούσατε;

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στο ερώτημα, ο μαθητής Α θεωρεί ότι όταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και μια γωνία ίση, είναι ίσα. Φαίνεται γενικεύει το θεώρημα "εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίση, είναι ίσα." Υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για να αντικρούσουν την άποψη αυτή του μαθητή.

Η πρώτη είναι να δοθεί ένα συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα βασισμένο σε μια γεωμετρική κατασκευή που χρησιμοποιεί κανόνα και διαβήτη όπως η παρακάτω.

Η δεύτερη προσέγγιση είναι η χρήση του νόμου του ημιτόνου ή του συνημιτόνου. Με την εφαρμογή του νόμου συνημιτόνου για τη δεδομένη γωνία, καθορίζουμε την τρίτη πλευρά, και διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν δύο πιθανές τιμές για το μήκος της. Με την εφαρμογή του νόμου ημιτόνου διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν δύο πιθανές γωνίες – μια οξεία και η συμπληρωματική της. Μια ερμηνεία αυτού του υπολογισμού και της επαλήθευσης της ύπαρξης των τριγώνων με αυτές τις πλευρές ή γωνίες οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν δύο (και μόνο δύο) ευδιάκριτα μη-ίσα τρίγωνα που ικανοποιούν τα δεδομένα.

Τέλος καλό είναι να αποφύγετε τον ισχυρισμό ότι κανένα από τα γνωστά θεωρήματα για τη ισότητα δύο τριγώνων δεν ισχύει σε αυτήν την περίπτωση.

Το παραπάνω θέμα είναι ενδεικτικό για τον διαγωνισμό των εκπαιδευτικών στον ΑΣΕΠ
Περιμένω και τις δικές σας απόψεις.

[A.Spyridakis]

Γεια σου Σπύρο και χρόνια πολλά!
Ομολογώ ότι δεν πολυκατάλαβα γιατί τα παραπάνω τρίγωνα δεν είναι ίσα.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία, ανεξάρτητα αν είναι περιεχόμενη ή όχι. Αρκεί οι δύο γωνίες να είναι αντίστοιχες. Προσωπικά, αυτό θα έλεγα στους μαθητές. Η απόδειξη είναι απλή. Αν φυσικά μιλάμε για τα περιορισμένα όρια της δομής ενός σχολικού βιβλίου και την εφαρμογή των... τύπων, τότε οκ, θα τους έλεγα να μην το χρησιμοποιούν σαν κριτήριο.

Αντώνης

[sybe]

Γεια σας.

Καλά Χριστούγεννα σε όλους.

μάλλον δεν προσέξατε τα τρίγωνα. Τα τρίγωνα για τα οποία μιλάει ο Spyrosk είναι το ΕΒΓ και ΑΒΓ.

ισχύει ΕΒ = ΑΒ ως ακτίνες ίδιου κύκλου.

ΒΓ κοινή

Και η γωνία Γ κοινή. Παρατηρείστε ότι στο ΕΒΓ η γωνία Ε που είναι απέναντι από τη κοινή πλευρά ΒΓ είναι οξεία, ενώ στο ΑΒΓ η γωνία Α που είναι απέναντι από τη κοινή πλευρά ΒΓ είναι αμβλεία.


Η κατασκευή είναι: Κατασκευάστε μια γωνία ΒΓχ οξεία. Με κέντρο το Β και ακτίνα μικρότερη του ΒΓ κάντε κύκλο που τέμνει την Γχ στα σημεία Ε και Α.


Απορία: Αν η γωνία που μας έδιναν είναι αμβλεία? Μόνο τότε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για ισότητα τριγώνων. Σωστά?

[kostas.zig]

Θέτω άλλο ένα ερώτημα σαν συνέχεια των ερωτημάτων του Σπύρου :
Υπάρχουν τρίγωνα άνισα με πέντε κύρια στοιχεία (Προφανώς δύο πλευρές και τρείς γωνίες) ? Αν ναι τι θα συμπεράσματα θα βγάζατε για τα τρίγωνα αυτά (Δώστε ένα παράδειγμα τέτοιων τριγώνων δίνοντας τα μήκη των πλευρών τους)

[A.Spyridakis]

Γεια σας.

Καλά Χριστούγεννα σε όλους.

μάλλον δεν προσέξατε τα τρίγωνα. Τα τρίγωνα για τα οποία μιλάει ο Spyrosk είναι το ΕΒΓ και ΑΒΓ.

ισχύει ΕΒ = ΑΒ ως ακτίνες ίδιου κύκλου.

ΒΓ κοινή

Και η γωνία Γ κοινή. Παρατηρείστε ότι στο ΕΒΓ η γωνία Ε που είναι απέναντι από τη κοινή πλευρά ΒΓ είναι οξεία, ενώ στο ΑΒΓ η γωνία Α που είναι απέναντι από τη κοινή πλευρά ΒΓ είναι αμβλεία.


Η κατασκευή είναι: Κατασκευάστε μια γωνία ΒΓχ οξεία. Με κέντρο το Β και ακτίνα μικρότερη του ΒΓ κάντε κύκλο που τέμνει την Γχ στα σημεία Ε και Α.


Απορία: Αν η γωνία που μας έδιναν είναι αμβλεία? Μόνο τότε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για ισότητα τριγώνων. Σωστά?

Μιλώ για τα τρίγωνα που έδωσεο δάσκαλος:
"Σε ένα μάθημα γεωμετρίας, στην Α λυκείου, ο δάσκαλος έδωσε τον ακόλουθο ερώτημα:
Δύο τρίγωνα ABC και EFG έχουν BC=FG=12 και AB=EF=7 και τις γωνίες ACB και EGF ίσες με 30 μοίρες. Εξετάστε εάν τα δύο τρίγωνα είναι ίσα."
Αυτά είναι προφανώς ίσα.

[Mihalis_Lambrou]

Απορία: Αν η γωνία που μας έδιναν είναι αμβλεία? Μόνο τότε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για ισότητα τριγώνων. Σωστά?

Ναι σωστά. Το σχετικό θεώρημα, ας το επαναλάβω, λέει ότι αν δύο τρίγωνα έχουν αντίστοιχα ίσες δύο πλευρές και ίσες δύο ομόλογες γωνίες, τότε οι τρίτες γωνίες (δηλαδή
όχι οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές) είναι είτε ίσες είτε είτε παραπληρωματικές.

Πόρισμα αυτού είναι ότι αν και τα δύο τρίγωνα είναι αμβλυγώνια ή και τα δύο οξυγώνεια, τότε είναι ίσα.

Στο παλιό mathematica είχα δώσει παράδειγμα χρήσης του παραπάνω σε ένα υπέροχο θεώρημα του Αρχιμήδη, το λεγόμενο "θεώρημα της σπασμένης χορδής". Εκεί τα δύο
τρίγωνα είναι εκ των προτέρων αμβλυγώνια.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[A.Spyridakis]

Οκ. Μιχάλη. Τώρα το ξεκαθάρισες πλήρως! Ευχαριστώ!

Αντώνης

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Το παραπάνω θέμα μαζί με τα προηγούμενα της λέσχης που αναλύθηκαν από τα μέλη τα τοποθέτησα στον φάκελο ΑΣΕΠ - ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ

[GiannisL]

Θέτω άλλο ένα ερώτημα σαν συνέχεια των ερωτημάτων του Σπύρου :
Υπάρχουν τρίγωνα άνισα με πέντε κύρια στοιχεία (Προφανώς δύο πλευρές και τρείς γωνίες) ? Αν ναι τι θα συμπεράσματα θα βγάζατε για τα τρίγωνα αυτά (Δώστε ένα παράδειγμα τέτοιων τριγώνων δίνοντας τα μήκη των πλευρών τους)

Υπάρχουν. Μια μορφή που μπορούν να έχουν φαινεται στο συνημμενο

[chris_gatos]

Καλησπέρα!Να προσθέσω κι εγώ πως υπάρχουν άπειρα,όμοια τρίγωνα με 5 κύρια στοιχεία ίσα(2 πλευρές και τρείς γωνίες).Αν λ ο λόγος ομοιότητας τους,τότε χρησιμοποιώντας την ισότητα λόγων των πλευρών,καθώς και την τριγωνική ανισότητα
προκύπτει πως \displaystyle
\lambda \in \left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},1} \right)\bigcup {\left( {1,\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)}
.Aρα υπάρχουν άπειρα τέτοια όμοια τρίγωνα,αρκεί να επιλέξουμε λ στα προαναφερθέντα διάστηματα...

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα και χρόνια πολλά,

Για την "ιστορία", στέλνω το παρακάτω:

5 στοιχεία ίσα.jpg (9.28 KiB) Προβλήθηκε 4159 φορές

Δύο τρίγωνα έχουν πέντε βασικά τους στοιχεία ίσα (πλευρές ή γωνίες). Υπάρχει περίπτωση να είναι άνισα ;


ΛΥΣΗ :

Προφανώς αν οι τρεις πλευρές των τριγώνων ήταν ίσες μία προς μία, τα τρίγωνα θα ήταν ίσα.
Ερευνούμε λοιπόν την περίπτωση δύο τρίγωνα να έχουν δύο πλευρές τους και τρεις γωνίες ίσες μία προς μία, δίχως να είναι ίσα. Προφανώς τα τρίγωνα είναι όμοια. Οι ομόλογες πλευρές τους δεν μπορεί να είναι ίσες, γιατί τότε θα ήταν ίσα τα τρίγωνα.

Έστω ΑΒΓ, ΔΕΖ με και ΒΓ = ΔΕ = α, ΑΓ = ΕΖ = β.

Τότε αρκεί να υπολογίσουμε την πλευρά ΔΖ = x του δεύτερου τριγώνου, ώστε να ισχύει η αναλογία, (που προκύπτει από την ομοιότητα):

.

Πράγματι υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα με πέντε στοιχεία ίσα. Η προϋπόθεση είναι να ισχύουν για τις πλευρές τους, εκτός των τριγωνικών ανισοτήτων, και οι σχέσεις : α2 = β*γ και β2 = x*α.

ΣΧΟΛΙΑ :
Η παραπάνω άσκηση είναι μία προσέγγιση του προβλήματος των δύο μέσων αναλόγων του Ιπποκράτη του Χίου. Περιέχεται στο βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών του Martin Gardner " Το τσίρκο των Μαθηματικών " ελληνική έκδοση Τροχαλία.
Τέτοια τρίγωνα με πλευρές ακέραιους αριθμούς είναι τα τρίγωνα με πλευρές αντίστοιχα : .

Το παραπάνω κείμενο δημοσιεύτηκε στη Μαθηματική Παιδεία (τεύχος 2) του Χάρη Βαφειάδη το 1996-97,
μαζί με μερικά ακόμα σχετικά προβλήματα.
Υπάρχει μια σχετική δημοσίευση και στο περιοδικό "το φ" του Βασίλη Βισκαδουράκη, τ. 5, 2008.



Καλή χρονιά σε όλους!

Γιώργος Ρίζος

edit Σχεδόν 5 χρόνια μετά ανασύρθηκε η συζήτηση και διαπίστωσα ότι είχε χαθεί η εικόνα, οπότε την επανέφερα στη θέση της...

[Γιώργος Ρίζος]

Ζητώ συμβουλές από όποιον γνωρίζει.

Αναφέρομαι στο προηγούμενο μήνυμά μου.

Επειδή το αρχείο ήταν σε Word, το μετέτρεψα σε pdf και κατόπιν το έσωσα ως png.

Όμως ... βγήκε τεράστιο! Πώς θα το έσωζα σε μικρότερο μέγεθος; Γίνεται κατ' ευθείαν από Word ή πρέπει να χρησιμοποιήσουμε Corel;

Γιώργος Ρίζος

[grigkost]

...έσωσα σε jpg

όσον αφορά τόν τύπο τής εικόνας
Εισαγωγή εικόνων ( συνημμένων καί μή )

Όσον αφορά τόν τρόπο αλλαγής μεγέθους μιάς εικόνας, παρακαλείσθε νά δείξετε μιάν μικρή υπομονή, ώστε νά βρεθεί ο λειτουργικότερος τρόπος.

[nsmavrogiannis]

Μιχάλη Μηηηη!
Η λύση αυτή είναι ότι χειρότερο για το mathematica. θα γεμίσουμε από εικόνες που δεν θα μποροεύμε να κάνουμε τίποτε με αυτές. Φαντασθείτε κάποιον που θέλει να μαζέψει ένα θέμα και να το ανεβάσει σε μία κάπως τελική μορφή στο αρχείο. Θα μαζέψει τις εικόνες και θα προκύψει ένα συνοθύλευμα που δεν θα βλέπεται. Χίλιες φορές η ascii.
Θα δώσω σύντομα μία διέξοδο για τους φίλους του Word.
Ως τότε καλή χρονιά σε όλους
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Νίκο,

Εντάξει, έχεις δίκιο.

Θα διαγράψω το κείμενο.

Γρηγόρη, και εσύ πρέπει να κάνεις προσαρμογή στο δικό σου, γιατί αναφέρεται
στο δικό μου.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα και Καλή Χρονιά!


Ψάχνοντας απάντηση στο (... περσινό) ερώτημά μου, τη μετατροπή δηλαδή κειμένων του Word σε αρχεία εικόνων png,
βρήκα ως καλύτερη λύση, για όσους έχουν το Corel Draw, την εξής:

Σημαδεύω το κείμενο με τα γραφικά, τις εξισώσεις και ότι άλλο θέλω μέσα στο Word.
Το εισάγω στο Corel. Προσοχή όμως: με την εντολή EDIT -> Paste Special -> Έγγραφο του Μicrosoft Word. Όχι ως picture.
Κατόπιν, το επιλέγω και το εξάγω (File -> export) ως αρχείο png. Από εκεί επιλέγουμε χαμηλή ανάλυση 72 dpi ή 96 dpi.

Δεν ξέρω αν στην εκτύπωση θα είναι ευανάγνωστο. Όποιος έχει εμπειρία από εικόνες διαδικτύου (gif, png), ας μας εξηγήσει για τη βέλτιστη ανάλυση (μέγεθος αρχείου vs ποιότητα εμφάνισης).

Νομίζω ότι το αρχείο που είχα στείλει είχε μεγάλο μέγεθος, γιατί είχε ανάλυση σχετικά υψηλή: 200 dpi.

Αν υπάρχει καλύτερη ή απλούστερη λύση, παρακαλώ όποιον ξέρει να τη μοιραστεί μαζί μας.

Γιώργος Ρίζος
Κέρκυρα

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Υπάρχει μία απλή απόδειξη του θεωρήματος Lehmus-Steiner*, που σχετίζεται με το παραπάνω κριτήριο.
*Αν ένα τρίγωνο έχει δύο εσωτερικές διχοτόμους ίσες (ΒΔ=ΓΕ), τότε είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ)

[Μπάμπης Στεργίου]

Ανδρέα, σε ευχαριστούμε πολύ !

Εξαιρετικά απλή η ευθεία αυτή απόδειξη (... εκτός αν εμμέσως χρησιμοποιείται πλάγια απόδειξη , πχ σε κάποιο από τα υπεισερχόμενα θεωρήματα, οπότε δεν είναι ευθεία)! Σκέψου ότι μια εποχή κουβεντιάζονταν ότι δεν υπάρχει ευθεία απόδειξη του θεωρήματος Lehmus !!!
Μέχρι τώρα μόνο μετρική ευθεία απόδειξη είχα κατά νου ! Αλλά αυτή είναι κάτι άλλο !Αν είναι δική σου , να τη δημοσιεύσουμε με το όνομά σου !

Μπάμπης

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για το θεώρημα αυτό ήξερα και εγώ ότι υπήρχαν μόνο μη ευθείες αποδείξεις. Μεταξύ άλλων, υπάρχει μία και σε ένα τεύχος του περιοδικού Quantum. Ξανακοιτώντας το θέμα πριν αρκετούς μήνες προσπαθώντας να βρώ κάποια ευθεία απόδειξη, κατέληξα την παραπάνω απόδειξη χωρίς όμως να γνωρίζω αν υπάρχει κάπου κάποια παρόμοια. Βρήκα λοιπόν στο http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ ... ner-lehmus μεταξύ άλλων και την απόδειξη του F. G. Hesse (1842), η οποία είναι η ίδια. Οπότε λέω, μας πρόλαβε ο Hesse πρίν ενάμιση (και κάτι) αιώνα!
Ελπίζω κάποιος που έχει επίσης ασχοληθεί με το θέμα να μας διαφωτίσει περισσότερο.

Ανδρέας

[Demetres]

Δυστυχώς ούτε η απόδειξη του Ανδρέα είναι ευθεία. Εφαρμόζοντας το κριτήριο ΠΠΓ, βρίσκουμε ότι είτε ΒΖΓ = ΔΖΓ, είτε ΒΖΓ = π - ΔΖΓ. Δεν δείξαμε όμως με ευθεία απόδειξη ότι ΒΖΓ = ΔΖΓ, αλλά υποθέσαμε ότι ΒΖΓ = π - ΔΖΓ, και καταλήξαμε σε άτοπο επειδή και τα δυο τρίγωνα είναι αμβλυγώνια.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση του Conway στο link του Ανδρέα.