Γνωστή πρόταση

#1

Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pm
Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.

Ας κάνω την αρχή. Για ευκολία ας θεωρούμε χωρίς βλάβη ότι $B\ge C$ και άρα $b\ge c$ .

Έχουμε $\angle BAD= \dfrac {A}{2} = 90 -\dfrac {B+C}{2} \ge 90 - B = \angle BAK$ . Άρα η διχοτόμος είναι "δεξιά" του ύψους.

Επίσης $BD:DC= c:b\le 1 = BM:MC$ , άρα το

είναι "αριστερά" του

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η πρόταση είναι της Απολύτου Γεωμετρίας.
(δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων)
Οτι θα χρησιμοποιήσω βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο και οι
αποδείξεις εκεί δεν χρησιμοποιούν το αξίωμα των παραλλήλων.
Στο σχήμα του Μιχάλη (αν και δεν χρειάζεται σχήμα)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι AB<AC

Στην περίπτωση που είναι ίσες και τα τρία συμπίπτουν.
Εχουμε AK,AD,AM

το ύψος ,διχοτόμος,διάμεσος.
Θεωρούμε ότι $\angle ABC<90$
Αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι στην ουσία ότι:
$\angle BAK< \angle KAC,\angle BAM> \angle MAC$
Για το πρώτο
Παίρνω το συμμετρικό του

ως προς το

,έστω

.
Είναι

Απο γνωστή πρόταση το

βρίσκεται μεταξύ των

και

.
Ετσι $\angle BAK=\angle KAK'<\angle KAC$

Για το δεύτερο.
Παίρνω το συμμετρικό του

ως προς το

έστω

Τα τρίγωνα ABM,MA'C

είναι ίσα.
Ετσι $\angle BAM=\angle MA'C$
και AB=CA'

Επειδή

από γνωστή πρόταση είναι
$\angle MAC<\angle MA'C=\angle BAM$

Αν $\angle ABC\geq90$ τότε η απόδειξη για την διάμεσο παραμένει η ίδια
ενώ για το ύψος είναι σχεδόν τετριμμένη.

Συμπλήρωμα.
Για να δούμε και την απόδειξη του τετριμμένου.
Αν $\angle ABC=90$ τότε τα B,K

ταυτίζονται και τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα δείξουμε ότι έχουμε την διάταξη K,B,C

.
Γιατί σε διαφορετική περίπτωση η γωνία $\angle ABC$ θα ήταν εσωτερική
τριγώνου που η απέναντι εξωτερική είναι

που δίνει ΑΤΟΠΟ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pm
Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.

Έστω

ύψος

διχοτόμος

διάμεσος.Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε $D \equiv E \equiv M$

Υποθέτουμε ότι b>c

$B>C \Leftrightarrow b>c \Leftrightarrow ab>ac \Leftrightarrow ab+ac>2ac \Leftrightarrow \dfrac{ac}{b+c} < \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow BD<BM$

άρα η διχοτόμος είναι αριστερά της διαμέσου

Ας υποθέσουμε ότι

είναι μεταξύ των B,D

.Τότε $\angle AEB >90^0\Rightarrow \dfrac{A}{2}+C> \dfrac{A}{2}+ \dfrac{B}{2}+ \dfrac{C}{2} > \Rightarrow C>B$ άτοπο

: ύψος-διάμεσος-διχοτόμος.png (8.56 KiB) Προβλήθηκε 1633 φορές

Γνωστή πρόταση

Γνωστή πρόταση

Re: Γνωστή πρόταση

Re: Γνωστή πρόταση

Re: Γνωστή πρόταση

Μέλη σε σύνδεση