Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10618
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 24, 2017 6:06 pm

εφαπτομένη  χωρίς  κύκλο.png
εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Αν ασχολείσθε με τα Μαθηματικά είναι βέβαιο ότι θα θυμάστε την εφαρμογή με το τετράγωνο

και τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα του σχήματος , όπου προκύπτει ότι τα σημεία D,P,S είναι

συνευθειακά . Δεν είναι εξ'ίσου βέβαιο ότι θυμάστε την \tan15^0 . Λοιπόν , σας έχω

ευχάριστα νέα . Κοιτάξτε το τρίγωνο DMS . Πόσο είναι η \tan\theta ; Θα έχετε και

ένα μικρό κόστος για το αδυνάτισμα της μνήμης σας : Πρέπει να δείξετε ότι : \theta=15^0



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 24, 2017 6:42 pm

Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ! :santalogo:

Αφού είμαστε σε φάκελο Διδακτικής, ας ξεκινήσουμε με μια μη αναμενόμενη (πιστεύω) προσέγγιση:
εφαπτομένη  χωρίς  κύκλο.png
εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Έστω B(0,0), A(-2,0), C(0,2), D(-2,2).

Τότε  \displaystyle P\left( { - 1,\;\sqrt 3 } \right) . Έστω  \displaystyle z =  - 1 + \sqrt 3 i ο μιγαδικός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο P.

Τότε ο  \displaystyle w =  - iz = \sqrt 3  + i στρέφει τον μιγαδικό κατά -90^0, άρα έχει εικόνα το S. Oπότε  \displaystyle S\left( {\sqrt 3 ,\;1} \right) .

Οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = \frac{{DM}}{{SM}} = \frac{1}{{\sqrt 3  + 2}} = 2 - \sqrt 3 .

H SM είναι και διχοτόμος της \widehat {BSC} = 60^\circ .

Στο DSC είναι DC=SC=1 άρα  \displaystyle \widehat {{D_1}} = \widehat {CSD} . Επίσης είναι  \displaystyle \widehat {{D_1}} = \widehat {MSD} ως εντός εναλλάξ των DC//SM. Άρα  \displaystyle \widehat {CSD} = \widehat {MSD} = \frac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ .

edit: Με την προτροπή του Θανάση άλλαξα τη μονάδα μήκους του τετραγώνου.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Δεκ 25, 2017 9:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8077
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 24, 2017 6:55 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 24, 2017 6:06 pm
εφαπτομένη χωρίς κύκλο.pngΑν ασχολείσθε με τα Μαθηματικά είναι βέβαιο ότι θα θυμάστε την εφαρμογή με το τετράγωνο

και τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα του σχήματος , όπου προκύπτει ότι τα σημεία D,P,S είναι



συνευθειακά . Δεν είναι εξ'ίσου βέβαιο ότι θυμάστε την \tan15^0 . Λοιπόν , σας έχω

ευχάριστα νέα . Κοιτάξτε το τρίγωνο DMS . Πόσο είναι η \tan\theta ; Θα έχετε και

ένα μικρό κόστος για το αδυνάτισμα της μνήμης σας : Πρέπει να δείξετε ότι : \theta=15^0
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ! :mathexmastree:

\displaystyle \tan \theta  = \dfrac{{DM}}{{MS}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{a + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3

\displaystyle \tan 2\theta  = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \frac{{2(2 - \sqrt 3 )}}{{1 - {{(2 - \sqrt 3 )}^2}}} = \frac{{2(2 - \sqrt 3 )}}{{2(2\sqrt 3  - 3)}} = \frac{{(2 - \sqrt 3 )(2\sqrt 3  + 3)}}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

Καλά που θυμάμαι ότι \displaystyle \tan {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}, οπότε \boxed{\theta=15^0}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8077
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 24, 2017 7:31 pm

Υπάρχει και το άλλο. Έχουμε ήδη βρει από πριν ότι \displaystyle \tan \theta  = 2 - \sqrt 3
Εφαπτομένη  χωρίς κύκλο.png
Εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (20.19 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
Με απλό κυνήγι γωνιών τώρα βρίσκουμε \theta=15^0. Άρα μόλις μάθαμε ότι \boxed{\tan {15^0} = 2 - \sqrt 3 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης