Θεωρείται γνωστό

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Θεωρείται γνωστό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Ιαν 24, 2017 10:25 pm

Επειδή το έχω απορία, να το διατυπώσω όπως πρέπει:

Αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta } καθώς και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος \displaystyle{\Delta } , τότε \displaystyle{f'\left( x \right) \ge 0} για κάθε \displaystyle{x \in \Delta }.

Η παραπάνω πρόταση θεωρείται δεδομένη κατά την άποψη σας ως συμφραζόμενη της θεωρίας του σχολικού βιβλίου της Γ' Λυκείου;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεωρείται γνωστό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιαν 29, 2017 12:05 am

Χρήστο κατά την γνώμη μου και τυπικά μιλώντας δεν θεωρείται γνωστό.
Το σχολικό βιβλίο κανει μια νύξη στην σελίδα 136 χια την x^3.
Το γενικό συμπέρασμα (νομίζω ότι η συνέχεια στα άκρα του διαστήματος δεν χρειάζεται σαν υπόθεση) έχει δύο βασικά επιχειρήματα
α) ότι για μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σε ένα διάστημα \Delta ο λόγος μεταβολής της είναι θετικός.
β) το όριο μιας θετικής συνάρτησης είναι μη αρνητικό.
και επομένως είναι αρκετά σύνθετο για να θεωρηθεί άμεσο στο σχολικό επίπεδο.
Τώρα αν το χρησιμοποιήσει ένας μαθητής σε γραπτό και το τι χειρισμός θα γίνει από τους βαθμολογητές είναι είναι άλλο θέμα. Συνήθως σε τέτοιου είδους ζητήματα δεν υπάρχει αυτοματισμός.
Θεωρώ ότι καλό είναι να δίνεται η απόδειξη αυτή στην τάξη. Προσωπικά την έδινα πάντα. Διότι πέρα από το πληροφοριακό στοιχείο παρουσιάζει και ενδιαφέρον στο ακόλουθο σημείο. Έχουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Ξέρουμε ότι η παράγωγος της είναι μη αρνητική. Έχουμε λοιπόν "απώλεια" πληροφορίας. Διότι αν αρκεσθούμε στο πρόσημο της παραγώγου το συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι η συνάρτηση είναι απλώς αύξουσα (πάλι κατά την γνώμη μου καλό είναι να διδάσκουμε και την συνεπαγωγή \displaystyle{f' \ge 0 \Rightarrow f \uparrow }).
Ας σημειωθεί ότι το σχολικό επιτρέπει στους μαθητές να συμπεράνουν ότι αν μια συνάρτηση έχει μη αρνητική παράγωγο η οποία μηδενίζεται σε "μεμονωμένα¨σημεία τότε είναι γνησίως αύξουσα.
Μια ενδιαφέρουσα άσκηση που δεν απέφευγα να κάνω ήταν η εξής:
Δείξτε ότι αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα έχει μη αρνητική παράγωγο τότε είναι γνησίως αύξουσααν και μόνο αν το σύνολο των σημείων που η παράγωγος της μηδενίζεται δεν περιέχει διάστημα.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Θεωρείται γνωστό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Ιαν 29, 2017 11:54 am

Θα συμφωνήσω με το Νίκο
Όταν τα πράγματα δεν είναι ξεκάθαρα , απόδειξέ το ....

Μια εκτενής συζήτηση εδώ


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης