Μα που κάνω λάθος;

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Μα που κάνω λάθος;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 11, 2016 6:12 pm

Επεισόδιο μέσα στην υποθετική μας τάξη...βρισκόμαστε στο τέλος της παραγράφου 2.2

Άσκηση

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
{x^3},x < 0\\ 
{x^2},x \ge 0 
\end{array} \right.} , να βρεθεί, όπου ορίζεται, η \displaystyle{f'} [/tex].

Απάντηση μαθητή:

Έχουμε \displaystyle{x \in \left( {- \infty,0 } \right):f'\left( x \right) = 3{x^2}}

ενώ στο \displaystyle{x \in [0, + \infty )} ισχύουν τα : \displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right):f'\left( x \right) = 2x} και \displaystyle{f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 0}

Άρα \displaystyle{f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
3{x^2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 0\\ 
0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x = 0\\ 
2x{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x > 0 
\end{array} \right.}
Δεδομένα: Είναι καλός μαθητής διάβασε την θεωρία του βιβλίου του και απάντησε με τον παραπάνω τρόπο, τι θα του λέγατε για να ανατρέψετε την αντίληψη του ;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μα που κάνω λάθος;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 11, 2016 6:56 pm

Christos.N έγραψε:Δεδομένα: Είναι καλός μαθητής διάβασε την θεωρία του βιβλίου του και απάντησε με τον παραπάνω τρόπο, τι θα του λέγατε για να ανατρέψετε την αντίληψη του ;
Θα επεσήμανα ότι ξέχασε να ελέγξει την αριστερή πλευρική παράγωγο στο 0. Η απάντησή του τυχαίνει να είναι σωστή αλλά αν στην θέση της x^3 υπήρχε η x, τότε η μέθοδός του θα έδινε λάθος απάντηση.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μα που κάνω λάθος;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Δεκ 11, 2016 6:58 pm

Θα του έλεγα ότι η σκέψη του θα ήταν σωστή αν π.χ. όριζαν τη συνάρτηση f(x)=x^2, \ x\geq 0 (και τότε δε θα χρειαζόταν η παράγωγος στο 0 να γίνει με τον ορισμό).

Από την άλλη, στο συγκεκριμένο παράδειγμα η συνάρτηση ορίζεται στο \mathbb{R} συνεπώς η εξέταση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης στο 0 πρέπει να περιλαμβάνει και το αριστερό πλευρικό όριο. Το μόνο που έχει βρει είναι η δεξιά παράγωγος της f στο 0 η οποία πρέπει να τσεκάρει ότι είναι ίση με την αριστερή παράγωγο της f στο 0 διαφορετικά η f μπορεί να είναι συνεχής αλλά να δέχεται στο 0 δύο διαφορετικές εφαπτομένες (άλλη από δεξιά και άλλη από αριστερά). Έτσι φαίνεται ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα "τυχαίνει" το 0 που προέκυψε από την εύρεση του δεξιού πλευρικού ορίου να ταυτίζεται με την παράγωγο της συνάρτησης στο 0, πράγμα όμως που μπορεί να μη συμβαίνει σε άλλη περίπτωση.

Το επόμενο (και τελευταίο) επιχείρημα θα ήταν γραφικό και θα ήταν ένα αντιπαράδειγμα. Θα έφτιαχνα μια (συνεχή) δικλαδική συνάρτηση με δεξιά και αριστερή παράγωγο στο x_0 να είναι πραγματικός αριθμός μεν αλλά όχι ο ίδιος δε. Έτσι η συνάρτηση στο x_0 δέχεται εφαπτομένη δεξιά και αριστερά η οποία όμως είναι διαφορετική. Ε σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο x_0.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες