Το παρακάτω μικρό άρθρο είχε πρωτοεμφανιστεί στην περιοδική έκδοση του «Επιτυχίες της μαθηματικής επιστήμης», σειρά 1, έκδοση 1, 1946 και επανεμφανίστηκε στο περιοδικό «Μαθηματική Εκπαίδευση» σειρά 2, τεύχος 2, 1957 από όπου και το μεταφέρω. Δίνει μια διαφορετική κατασκευή των πραγματικών αριθμών. Σε ποιο αναλυτική μορφή είχε χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή των πραγματικών αριθμών σε μερικά Παιδαγωγικά Ινστιτούτα, πιθανόν και σε φυσικό-μαθηματικά σχολεία. (Σημείωση: ο όρος Παιδαγωγικό Ινστιτούτο στο ρωσικό σύστημα εκπαίδευσης δεν συμπίπτει με τον ελληνικό όρο. Εδώ εννοούνται πανεπιστημιακές σχολές 4-ετούς ή, 5-ετούς φοίτησης για τις φυσικομαθηματικές σχολές, που κύριο σκοπό είχαν την στελέχωση του τομέα της εκπαίδευσης, καθηγητές κτλ.)
Πάνω στην θεμελίωση των πραγματικών αριθμών. Α. Ν. Κολμογκόροβ.
Συνήθως για την κατασκευή της θεωρίας των πραγματικών αριθμών προϋποθέτουν την ήδη κατασκευασθήσα θεωρία ρητών αριθμών. Είναι δυνατόν να προσεγγίσουμε διαφορετικά και να εισάγουμε τους πραγματικούς αριθμούς κατευθείαν μετά τους ακέραιους. Ο προτεινόμενος παρακάτω τρόπος θεμελίωσης των πραγματικών αριθμών δεν είναι τίποτα διαφορετικό από ότι ένας σύγχρονος φορμαλισμός της ευκλείδειας θεωρίας μέτρησης. Για λόγους επίτευξης μεγαλύτερης απλότητας και εγγύτητας στην κλασική ευκλείδεια κατασκευή, κατασκευάζεται το σύστημα των θετικών πραγματικών αριθμών. H προσκόλληση σε αυτό του μηδέν και των αρνητικών πραγματικών αριθμών μπορεί να γίνει με τον ευρέως γνωστό κοινό τρόπο.
Θεωρούμε γνωστούς μόνο τους μη αρνητικούς ακέραιους
και τους συμβολίζουμε με μικρά λατινικά γράμματα. Αυτοί οι αριθμοί, με εξαίρεση το μηδέν, ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Αν μη αρνητικός ακέραιος και φυσικός αριθμός, τότε το σύμβολο
συμβολίζει το ατελές πηλίκο της διαίρεσης του με το , δηλαδή τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό , για τον οποίο
.
Ορισμός 1. Πραγματικός αριθμός ονομάζεται η μονότιμη συνάρτηση
,
που ορίζεται για όλους τους φυσικούς αριθμούς , με μη αρνητικές τιμές , η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:
1) Για όλους τους φυσικούς αριθμούς
.
2) Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό υπάρχει τέτοιος φυσικός , ώστε
.
Τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς θα τους συμβολίζουμε με μικρά ελληνικά γράμματα και το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών με το γράμμα . Η σχέση διάταξης, η πράξη της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού εισάγονται στο σύνολο με τους εξής ορισμούς:
Ορισμός 2. συμβολίζει, ότι υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός , για τον οποίο
.
Ορισμός 3. συμβολίζει, ότι για όλους τους φυσικούς αριθμούς
,
Όπου το εφαρμόζεται για όλους τους φυσικούς .
Ορισμός 4. συμβολίζει, ότι για όλους τους φυσικούς
.
Όπου το εφαρμόζεται για όλους τους φυσικούς και .
Το πρόβλημα, που προτείνεται στον αναγνώστη, συμπεριλαμβάνεται στην απόδειξη το ότι το σύνολο εφοδιασμένο με την παραπάνω σχέση διάταξης και τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πράγματι διαθέτει όλες τις ιδιότητες των κοινών θετικών πραγματικών αριθμών (δηλαδή είναι ισόμορφο με το σύστημα των θετικών πραγματικών αριθμών, κατασκευασμένων με οποιοδήποτε άλλο κοινά αποδεκτό τρόπο).
Παρατήρηση 1. Για οποιονδήποτε φυσικό η συνάρτηση
ικανοποιεί τις συνθήκες ορισμού του , δηλαδή αποτελεί στην δική μας θεώρηση θετικό πραγματικό αριθμό.
Αυτός ο «αριθμός» μπορεί με φυσικό τρόπο να αντιστοιχηθεί με το φυσικό αριθμό . Με αυτή την συμφωνία το σύστημα γίνεται επέκταση του συστήματος των φυσικών αριθμών.
Παρατήρηση 2. Προσκολλώντας στο τον αριθμό μηδέν και υποθέτοντας ότι
και για όλα τα του
,
,
,
Λαμβάνουμε το σύστημα των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών. Το μετά την συμφωνία που κάναμε στην παρατήρηση 1, συμπεριλαμβάνει στον εαυτό του σε μορφή υποσυνόλου, το σύνολο όλων των μη αρνητικών ακέραιων. Είναι φυσικό τώρα για οποιοδήποτε του εξ ορισμού να θέσουμε το (ακέραιο μέρος του ) ίσο με τον μεγαλύτερο εκ των ακέραιων αριθμών, για τον οποίο
.
Παρατήρηση 3. Αν ορίσουμε την διαίρεση στο ως την αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, τότε μπορούμε να δείξουμε, ότι για οποιονδήποτε μη αρνητικό ακέραιο και φυσικό (θεωρώντας τους ως στοιχεία του συνόλου ) το αποτέλεσμα της διπλής πράξης διαίρεσης και πάρσιμο του ακέραιου μέρους
συμπίπτει με το ατελές πηλίκο, άμεσα οριζόμενου.
Παρατήρηση 4. Τέλος, μπορούμε να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε του
στην περίπτωση να είναι ακέραιος
στην περίπτωση κλασματικός (μη ακέραιος).
Με τέτοιο τρόπο ο εν τέλη προκύπτει να είναι τίποτα διαφορετικό από ότι ο μεγαλύτερος ακέραιος , για τον οποίο
.
Στην φορμαλιστική θεώρηση του καινούργιου τρόπου κατασκευής του συστήματος των πραγματικών αριθμών αυτή η υπόθεση αναπόφευκτα αποτελεί τον τελικό κρίκο μιας μακράς αλυσίδας ορισμών και συμπερασμάτων εξ αυτών. Αλλά, βέβαια, αποτελεί το αρχικό σημείο για την κατανόηση της σκέψης αυτής της κατασκευής.
(*) Ο αναγνώστης εύκολα μπορεί να αντιληφθεί, ότι η συνάρτηση δεν ικανοποιεί την ιδιότητα 2) και για αυτό δεν συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο .
- Αρχική σελίδα Αρχική Σελίδα Ευρετήριο Δ. Συζήτησης Διδακτική των Μαθηματικών
- Αναζήτηση
-
- Τώρα είναι Παρ Μαρ 29, 2024 8:43 am
- Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Πραγματικοί Αριθμοί Από τον Ευκλείδη στον Κολμογκόροβ
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πραγματικοί Αριθμοί Από τον Ευκλείδη στον Κολμογκόροβ
Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιουν 22, 2022 2:40 pm
Λέξεις Κλειδιά:
Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”
Μετάβαση σε
- Γενικά Μηνύματα
- ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR
- ΓΥΜΝΑΣΙΟ
- ↳ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ΛΥΚΕΙΟ
- ↳ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα A
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A
- ↳ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Β
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Β
- ↳ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- ↳ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
- ↳ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- ↳ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- ↳ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- ΕΠΑ.Λ.
- ΔΗΜΟΤΙΚΟ
- Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
- ↳ Πανελλήνιες Εξετάσεις
- ↳ Εξετάσεις Σχολών
- ↳ Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- ↳ Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
- ↳ Εξετάσεις Δεσμών
- ↳ Α' Δέσμη
- ↳ Δ' Δέσμη
- Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Ανάλυση
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Στατιστική-Πιθανότητες
- ↳ Γενικά
- ↳ Μαθηματική απόδειξη & Λογική
- ↳ Σχολικά Βιβλία, Οδηγίες κ.α.
- ↳ Σχολικά Βιβλία του ΟΕΔΒ και Βιβλία Καθηγητή
- ↳ Βιβλία του Κέντρου Εκπαιδευτικής 'Ερευνας
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου κ.α.
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας από Σχολικούς Συμβούλους κ.α.
- ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α.Σ.Ε.Π.
- ↳ Γενική Συζήτηση - Σχόλια
- ↳ Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Α.Ε.Ι.
- ↳ ΑΝΑΛΥΣΗ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ
- ↳ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- ↳ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- ↳ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- ↳ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
- ↳ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
- ↳ Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Θεωρία Αριθμών
- ↳ Συνδυαστική
- ↳ Θέματα για Γυμνάσιο - Juniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θέματα για Λύκειο - Seniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Διαγωνισμοί για φοιτητές
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις (Φοιτητές)
- ↳ Άλγεβρα (Φοιτητές)
- ↳ Ανάλυση (Φοιτητές)
- ↳ Γεωμετρία (Φοιτητές)
- ↳ Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
- ↳ Συνδυαστική-Πιθανότητες (Φοιτητές)
- ↳ Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Ιστορία των Μαθηματικών
- Διδακτική των Μαθηματικών
- ↳ Διαδραστικοί & σχέδια μαθημάτων με λογισμικό
- ↳ Ερευνητικές εργασίες (project)
- Μαθηματικά Κείμενα-Μελέτες
- Εκπαιδευτικά Θέματα
- Παιδαγωγικά Θέματα
- Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Άρθρα αρχικής σελίδας
- Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr
- ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
- ↳ Οδηγίες για γραφή με TeX
- ↳ Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
- ↳ Δοκιμές γραφής με TeX
- ↳ Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
- ↳ Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
- ↳ Ελεύθερα ηλεκτρονικά Βιβλία (free e-books)
- ↳ Μαθηματικό Λογισμικό
- ↳ Μαθηματικά & Τεχνολογία
- ↳ Νέες Προσθήκες
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες