Ανισότητες από άλλες ανισότητες

Συντονιστής: chris_gatos

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Ανισότητες από άλλες ανισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Φεβ 20, 2024 1:40 pm

ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Παρ Φεβ 23, 2024 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ανισότητες από άλλες ανισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Φεβ 22, 2024 5:29 pm

orestisgotsis έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2024 1:40 pm
Για τους αριθμούς a,b,c,d\in \mathbb{R} ισχύει: a<b<c<d. Να αποδείξετε ότι:

α) \displaystyle 4\left( a{{b}^{3}}+b{{c}^{3}}+c{{d}^{3}} \right)<{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+3{{d}^{4}}.

β) \displaystyle 4(b{{a}^{3}}+c{{b}^{3}}+d{{c}^{3}})<3{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+{{d}^{4}}.
Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^4} είναι κυρτή. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα \displaystyle{[a,b],[b,c], [c,d]} έχουμε:

\displaystyle{4a^3(b-a)<b^4-a^4<4b^3(b-a)},

\displaystyle{4b^3(c-b)<c^4-b^4<4c^3(c-b)},

\displaystyle{4c^3(d-c)<d^4-c^4<4d^3(d-c)}

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε τις ζητούμενες ανισότητες.


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6423
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητες από άλλες ανισότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Φεβ 22, 2024 6:22 pm

Αποδεικνύονται αμέσως και με απλή χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ.

Π.χ. για την πρώτη:

\displaystyle{a^4+3b^4>4|ab^3|\geq 4ab^3}

\displaystyle{b^4+3c^4>4|bc^3|\geq 4bc^3}

\displaystyle{c^4+3d^4>4|cd^3|\geq 4cd^3.}

Με πρόσθεση λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Από την απόδειξη αυτή φαίνεται ότι η διάταξη δεν παίζει κανέναν ρόλο, απλώς χρειάζεται να είναι |a|\ne |b| ή |b|\ne |c| ή  |c|\ne |d|.}

Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης